導數的幾何意義(文件)
【正文】 4 ，－ 20) ． 即切線與曲線 C 的公共點除了切點外，還有另外的公共點． 利用導數的幾何意義求切線方程的方法： (1)若已知點 (x0， y0)在已知曲線上，則先求出函數 y＝f(x)在點 x0處的導數，然后根據直線的點斜式方程，得切線方程 y－ y0＝ f′(x0)(x－ x0)． (2)若題中所給的點 (x0， y0)不在曲線上，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程． 1 ．已知曲線 y ＝13x3上一點 P (2 ，83) ，求： ( 1) 點 P 處的切線的斜率； ( 2) 點 P 處的切線方程． 解： (1) 由 y ＝13x3得 Δ y ＝13( x ＋ Δ x ) －13x3 ＝13[3 x2Δ x ＋ 3 x ( Δ x )2＋ ( Δ x )3] ， Δ yΔ x＝13[3 x2＋ 3 x (Δ x ) ＋ (Δ x )2] ， limΔ x →0 Δ yΔ x＝ x2. ∴ f ′( x ) ＝ x2， f ′( 2) ＝ 4 ， ∴ 點 P 處的切線的斜率等于 4. ( 2) 在點 P 處的切線方程是 y －83＝ 4( x － 2) , 即 12 x － 3 y － 16 ＝ 0. [例 2] 已知拋物線 y＝ 2x2＋ 1，求 (1)拋物線上哪一點的切線的傾斜角為 45176。 ＝ 1. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0＝ 1 得 x0＝14，該點為 (14，98) ． (2) ∵ 拋物線的切線平行于直線 4 x － y － 2 ＝ 0 ， ∴ 斜率為 4. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0＝ 4 得 x0＝ 1. 該點為 (1,3) ． (3) ∵ 拋物線的切線與直線 x ＋ 8 y － 3 ＝ 0 垂直， ∴ 斜率為 8. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0＝ 8 ，得 x0＝ 2 ，該點為 (2,9) ． 解決此類問題的步驟為： (1)先設切點坐標 (x0， y0)； (2)求導數 f′(x)； (3)求切線的斜率 f′(x0)； (4)由斜率間的關系列出關于 x0
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