高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文(文件)
【正文】 一個新變元來代替，達到化繁難為簡易，化陌生為熟悉，從而使原問題得解.例. 求函數 =+4yx解：因為 ，即給定函數的定義域為： .02????x[2,] 于是令 ， .?sin?x???????2,?則給定函數可變形為: 2)sin(4si???y = co2in? =2[ ]2)si(??? = 2)4co(in2?? = )s(??高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 6 2)]4(2sin[???? )i(?而. .]2,4[342????????????又因 在 是增函數，所以其最值在端點處取得.)sin(?],[ 三角函數法如果給定函數，經變形后能化成： 或BxAy??)sin(?（ 、 是常數）的形式，則由 或BxAy??)cos(?A1?1)cos(???x可知：當 或 時， （設 ）????2k????kxmaxyAB=+0 當 或 時， （設 ）kx?)1(kxmaxyA例. 求函數 =+解：因為 iixx )2sin(2sin1???? )4co(iixx = )s(2sin1??? 當 時， ；42????kxkx max(sin2)1=高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 7 當 時， )(,4Zkx???? 1cos)4cos()4cos( ????????kkx即 ，所以，當 時， .1)][cos(max?kmax12y=+ 單調性法當自變量的取值范圍為一區(qū)間時，有時也用單調性法來求函數的最值．在確定函數在指定區(qū)間上的最值時，首先要考慮函數在這個區(qū)間上的單調情況．若函數在整個區(qū)間上是單調的，則該函數在區(qū)間端點上取得最值．若函數在整個區(qū)間上不是單調的，則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數在每一個區(qū)間上是單調的，再求出各個小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個區(qū)間上的最值 [5]．例. 設函數 是奇函數，對任意 、 均有關系 ，()fxxyR?()()fxyfy??若 時， 且 ．求 在 ?0?12??()f??3,?解：先確定 在 上的單調性，設任意 、 且 ，則()fx??3, 1x??23,?12x?.210x??所以有 212121()())()0fxffxffx??????即 .21()ff?所以， 在 上是減函數.()fx??3,?因此， 的最大值是 。 ??????xf ()fx]1,[??數.故 當 時， 。 ???f令 ，)(39。()f()(321)fff??????()1()6ff??? 的最小值是 .()fx()16ff高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 8 導數法設函數 在 上連續(xù)，在 上可導，則 在 上的最大值和()fx[]ab， ()ab， ()fx[]ab，最小值為 在 內的各極值與 ， 中的最大值與最小值．， ff要求三次及三次以上的函數的最值，以及利用其他方法很難求的函數式的最值，通常都用該方法．導數法往往就是最簡便的方法，應該引起足夠重視．例. 求函數 ， 的最大值和最小值．32()6fxx=+]1,[??解：求導得 .)(239。1x=min()12fxf= 當 時， .ax()ff綜上可知，函數最值問題內涵豐富，在解題時要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，函數的最值解題方法是靈活多樣性的，除了以上講的，還有很多種方法，如：消元法、數形結合法、復數法、幾何法、待定系數法、解題的關鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，減少解題時間．高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 9 3 求解函數最值時應注意的一些問題 注意定義域遇到求最值問題的時候，我們切記在求解的過程當中，要注意觀察定義域的變化情況，在最初解題之時，應當先把函數的定義域確定；在解題過程中，當函數變形時注意定義域是否發(fā)生改變，如果又引入新變量也要確定這個變量的取值范圍，以免在后面的求解過程中出現錯誤；在解題結束時，必須檢驗所求得的使函數取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內．例. 求函數 =錯解：將 兩邊同時平方并去分母得 .xy 222(41)0yxxy+=因為 ，所以 ，化簡得 .Rx?0)14()14(22?????y 2?所以 ，故 ， .21??ymin=max分析：這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母，使函數的定義域擴大了.正解：將 兩邊平方并去分母，得 .12xy=222(41)0yxxy+=因為 ，所以 ，化簡得 .Rx?0)4()14(22?????y 2?所以 ，注意到原函數的定義域是 ，則有 ， ，21??y 1?x0??x于是必有 .0 所以 ，故 ，021??ymin12=.max0y高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 10 注意值域 求函數的最值，不但對幾種基本初等函數的值域要非常熟悉，而且在解題過程中還要注意函數取值范圍的變化.例. 求 的最值.21xy=+錯解：原式變形為 ，因為 ，所以2()()0yx+=Rx?.0)2(14??
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