有限元基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)總結(jié)(文件)
【正文】 么賦予結(jié)點(diǎn)以單元?jiǎng)傮w位移（零應(yīng)變）或常應(yīng)變的位移模式時(shí)，在單元內(nèi)部將產(chǎn)生非零或非常值的應(yīng)變，這樣有限元解將不可能收斂于精確解。但在建立泛函時(shí)，沒(méi)有考慮到這種情況，只考慮了產(chǎn)生于各個(gè)單元內(nèi)部的應(yīng)變能。對(duì)于近似的位移函數(shù)的連續(xù)性要求僅是連續(xù)性，這種只要求函數(shù)自身在單元邊界連續(xù)的要求很容易得到滿足。 位移解的下限性質(zhì)以位移為基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元稱為位移元。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般來(lái)說(shuō)總是與精確解有差別，因此得到的系統(tǒng)總位能總會(huì)比真正的位能大。3 等參元和數(shù)值積分用直邊單元離散曲邊的求解域勢(shì)必要用更多的單元數(shù)才能較準(zhǔn)確地描述實(shí)際邊界。變換涉及兩個(gè)方面：幾何圖形的變換(坐標(biāo)變換)和位移場(chǎng)函數(shù)的變換(母單元的位移模式)。通常應(yīng)用最多的是兩者插值點(diǎn)數(shù)相同的等參元。經(jīng)過(guò)以上探討和學(xué)習(xí)，對(duì)有限元基礎(chǔ)的理論做了以下理解和總結(jié)：1. 等效積分形式可以通過(guò)分部積分得到它的“弱”形式，利用提高權(quán)函數(shù)的連續(xù)性要求來(lái)降低待求場(chǎng)函數(shù)的連續(xù)性要求，從而可以更廣泛的選擇試探函數(shù)。3. 以彈性力學(xué)靜力分析問(wèn)題為例，學(xué)習(xí)了通過(guò)彈性力學(xué)變分原理建立彈性力學(xué)問(wèn)題有限元方法表達(dá)格式的基本步驟。有限元法中普遍采用等參變換，即單元的幾何形狀和單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換。4. 以平面問(wèn)題3結(jié)點(diǎn)三角形單元為典型，學(xué)習(xí)了如何應(yīng)用廣義坐標(biāo)建立單元位移模式與位移插值函數(shù)，以及如何根據(jù)最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法和步驟，并進(jìn)而引出彈性力學(xué)問(wèn)題有限元方法的一般表達(dá)格式。2. 將物理方程引入虛位移原理和虛應(yīng)力原理可以分別導(dǎo)出最小位能原理和最小余能原理，它們本質(zhì)上和等效積分的伽遼金“弱”形式相一致。在單元特性矩陣形成時(shí)，為了使等參元的特性矩陣在規(guī)范化的局部坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，必須進(jìn)行總體坐標(biāo)系內(nèi)和局部坐標(biāo)系內(nèi)的導(dǎo)數(shù)、面積、體積、長(zhǎng)度等的變換以及積分限的變換。 等參元在有限元法的發(fā)展中占有重要位置，由于他能是局部坐標(biāo)系內(nèi)的形狀規(guī)則的單元變換為總體坐標(biāo)系內(nèi)形狀為扭曲的單元，從而為求解域是任意形狀的實(shí)際問(wèn)題求解提供了有效的單元形式。這類單元的出現(xiàn)不僅系統(tǒng)的解決了構(gòu)造協(xié)調(diào)位移單元的問(wèn)題，而且自然坐標(biāo)系的描述方法也廣泛為其他類型的單元所采用。由于，則有，即 （）對(duì)于精確解有 對(duì)于近似解有 （）將（）式代入（）式得到 （）由（）式看出，近似解應(yīng)變能小于精確解應(yīng)變能的原因是近似解的位移總體上要小于精確解的位移。系統(tǒng)總位能的離散形式為 （）由變分得到有限元求解方程 （）將（）式代入（） （）在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負(fù)的應(yīng)變能。在某些情況下，可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求，只要這種單元能通過(guò)分片試驗(yàn)，有限元解仍然可以收斂于正確的解答?？梢钥闯?，最簡(jiǎn)單的3結(jié)點(diǎn)三角形單元插值函數(shù)既滿足完備性要求，也滿足協(xié)調(diào)性要求，因此單元的解是收斂的。對(duì)平面問(wèn)題，協(xié)調(diào)性要求是連續(xù)性，即要求位移函數(shù)u,v的零階導(dǎo)數(shù)，也就是位移函數(shù)自身在單元交界面上是連續(xù)的。實(shí)際分析中，各單元的變形往往包含著剛體位移，同時(shí)單元尺寸趨于無(wú)窮小時(shí)各單元的應(yīng)變也趨于常應(yīng)變。當(dāng)單元為完備的協(xié)調(diào)單元，則有限元解收斂，即細(xì)分單元其解趨于精確解。當(dāng)單元的插值函數(shù)滿足上述要求時(shí)，稱這樣的單元是完備的。即解是收斂的。假設(shè)僅是x的函數(shù)，則及其各階導(dǎo)數(shù)在一個(gè)單元內(nèi)的表達(dá)式為： （） ……由上式可見(jiàn)，因?yàn)槭莗次完全多項(xiàng)式，所以它的直至m階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中都包含有常數(shù)項(xiàng)。但是實(shí)際上有限元的試探函數(shù)只能取有限項(xiàng)多項(xiàng)式，因此有限元解只能是精確解的一個(gè)近似解答。因此有限元解的收斂性可以與里茲法的收斂性對(duì)比進(jìn)行討論。（5）求解有限元方程，得到結(jié)點(diǎn)位移。按問(wèn)題的幾何特點(diǎn)和精度要求等因素劃分單元并形成網(wǎng)格，既將原來(lái)的連續(xù)體離散為在結(jié)點(diǎn)處互相聯(lián)結(jié)的有限單元組合體。（2）將各結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于廣義坐標(biāo)的線性方程組，從而求出廣義坐標(biāo)；（3）將廣義坐標(biāo)b回代入一般位移模式中得到由單元結(jié)點(diǎn)位移列陣所表示的位移模式；對(duì)于平面問(wèn)題： 零次完全多項(xiàng)式： x0，y0 一次完全多項(xiàng)式： x,
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1