【正文】 表37 列表函數(shù)x x 1 x 2 x 3 … x ny y 1 y 2 y 3 … y n由于列表函數(shù)只能給出結點x 1, x 2 ，… ，x n處的函數(shù)值y 1, y 2 ，… ，y n ，當自變量為結點的中間值時，當精度要求較低時可用附近結點上的函數(shù)值來近似代替；如果要求較高，則須用插值的方法求得。若代數(shù)多項式g ( x ) 滿足 g ( xi ) = yi（i = 1,2,3, …,n）則稱g (x) 為函數(shù)y = f (x )的插值多項式, x1 ,x2 ,x3 , …, xn 為插值結點，區(qū)間 [ a , b ]為插值區(qū)間，y = f ( x ）稱為被插值函數(shù)。通過這兩點的直線方程為： 圖34 兩點插值的幾何意義二、 二次插值線性插值只用到兩個數(shù)據(jù)點的信息，計算簡單，但求得的y = f (x) 誤差較大。如果三個點不在一直線上，作出的曲線就是拋物線。三、拉格朗日插值公式將線性插值和二次插值的方法推而廣之，可以求得n個結點的n1 次插值多項式為： 注意：適當提高插值公式的階數(shù)可以改善插值精度，但階數(shù)太高的插值公式效果并不好。 線圖的程序化在工程設計中，時常遇到一些線圖供查找系數(shù)或參數(shù)等使用，有些還以曲線族的形式給出，例如圖3 一11 就是根據(jù)齒輪在軸上不同的布置方式，根據(jù)齒寬系數(shù)φd 查找齒輪載荷系數(shù)Kβ 的一族曲線。如能找到，這是最精確的程序化處理辦法。 圖3—6 齒輪載荷分布系數(shù)Kβ1一齒輪在軸上對稱布置；2一非對稱布置，軸剛性大；3一非對稱布置，軸剛性?。?一懸臂布置b一齒寬，mm；d1一分度圓直徑，mm 表 38 齒輪載荷分布系數(shù)Kβ 建立經(jīng)驗公式的方法實際的工程問題中時常需要用一定的數(shù)學方法將一系列測試數(shù)據(jù)或統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合成近似的經(jīng)驗公式，這種建立經(jīng)驗公式的過程也稱為曲線擬合。擬合公式的類型通?？梢赃x取初等函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、代數(shù)多項式等。上公式中待定的系數(shù)(a0, a1, a2, …,an)共(n+1)個，方程也是(n+1)個，因此解此聯(lián)立方程，就可求得各系數(shù)。此外如欲提高某區(qū)間的擬合精度，則應在該區(qū)間上采集更多的點。插值（interpolation）可用于預估在數(shù)據(jù)點中間的函數(shù)值，而擬合是利用有限的采樣點（Sample Points ) 來建立一個數(shù)學模型。二、 初探MATLAB 基本運算與變量的使用：MATLAB能識別一般常用的加（+）、減（—）、乘( * )、除( / )、冪( ^ ) 等運算符號,還能進行與矩陣相關的數(shù)學運算，如轉(zhuǎn)置( ‘ )、左除( \ )、右除( / )、冒號( : )等。 如果想看ans的內(nèi)容 ans x = (5*2+)/5 y = (5*2+)/5。 、MATLAB除了能完成數(shù)學運算外，還能完成關系運算、邏輯運算、位運算和集合運算。2]B=[3,4,5]C=A*B C=3 4 5 6 8 10 矩陣的乘方運算：（注意矩陣必須是方陣） A=[1 2 3。 例：*繪0 ~ 2正弦曲線： x=linspace(0,2*pi) % 在0到2間，等分取100個點,x為長度100的向量,用 ：再來生成一向量。plot(x,sin(x))subplot(2,2,2)。 表 318 MATLAB其他二維繪圖命令 三、 數(shù)值運算與其他應用 線性代數(shù)：A的逆矩陣可表示成，它滿足下列恒等式： 注意：A為方陣時，才存在，可用inv（A）計算逆矩陣，用det(A)可計算行列式，矩陣的左除 \，矩陣的右除 /。3 3 1 1] B=[10。0 28 0。一個n次的多項式可表示成：在MATLAB中，可用一個長度為n+1的行向量來表示p(x)如下：舉例來說，可用來表示一個三次多項式。例如： p=[1 2 1] x=0::3 y=polyval(p,x) y = 可繪圖如下 plot(x,y,’o’)*多項式的根可用roots命令求得，例如：多項式的根，可計算如下： p=[1 3 1 5 1] r=roots(p) r = + 要驗算此四根為多項式p(x)的解，可驗算如下： polyval(p,r) ans = * + 注意：roots命令只用于多項式的求根，而fzero命令可用于一般函數(shù)的求根，但它一次只能找到一個根，后面要講。以應付不同的需要。*介紹另一個新概念：M文件：以MATLAB程序代碼編寫的文件通常以“m”為擴展名，所以這些文件又稱為“m文件”（Mfile）,M文件又分為兩類：腳本(Script)、函數(shù)（Function）。因此，函數(shù)特別適用于大型程序代碼，會使你的程序代碼模塊化，易于維護與改進。y=interp1(a,k2,x,39。此外，當文件名稱和函數(shù)名稱不同時，我們?nèi)钥砂次募Q調(diào)用文件，函數(shù)名稱將被忽略。通常在曲線擬合的問題中，所建立的數(shù)學模型是“單輸入／單輸出”( Singleinput Singleout，簡稱SISO ) ，所以其特性可用一條曲線來表示。但在本節(jié)中，結合我們所學的內(nèi)容多項式擬合,介紹如何使用MATLAB來實現(xiàn)多項式擬合。如何考慮：觀察曲線可用3次多項式擬合。高階多項式對噪聲（Noise）的敏感度較高，因此容易產(chǎn)生不準確的預測。此類MATLAB 命令可對數(shù)學函數(shù)進行各種運算與分析，例如：數(shù)值積分、最優(yōu)化（即求一個函數(shù)的極大或極小值）、求解方程式的根、常微分方程式的求解。fplot(‘humps’,[0 1 5 25])grid onfplot也接受以字符串表示的數(shù)學式子，例如： fplot(‘sin(2*x)+cos(x)’,[10,10])fplot基本上也是描點繪圖，類似plot ( x ,y), 只是x坐標點的密集度根據(jù)函數(shù)值的變化決定（不用x生成向量,方便），因此可產(chǎn)生比較“詳實”的函數(shù)圖形。 ezplot(‘sin(t)’,’cos(t)’)ezplot還可用于隱函數(shù)的繪圖： ezplot(‘x^3+2*x^23*x+5y^2’)函數(shù)的求根： fzero命令可用于單變量函數(shù)的求根，其使用語法如下：x = fzero ( fun , xo ) 其中fun是要求根的函數(shù)（以字符串表示）, xo 則是一個起始點或起始區(qū)間。例如，若要找出humps在x =1 . 5 附近的根，可輸入如下： a=fzero(‘humps’,)a = 若已知humps在x=1及x=1之間為異號，即humps(1)*humps(1)0,則我們可以令x0=[1,1]為起始區(qū)間來找出humps的零點，如下：a=fzero(‘humps’,[1,1])a = 要繪出以上這兩個零點，可輸入如下：fplot(39。,)z2=fzero(39。,39。,39。如果您要尋求humps在[ , 1]中的最小值，可用fminbnd命令來產(chǎn)生最小值的發(fā)生點，例如： [x,min_value]=fminbnd(39。 f=(x3).^21。已知x=[ ],y=[ ],用不同方法求x=2點的插值。在此重點介紹二維、三維圖形變換。1． 平移變換X—Y平面上的點(x y)，在其坐標方向上增加平移量Tx和Ty，可變換至新位置(x′y′)平移變換的關系式為： 特點：平移使圖形相對于原坐標系由一個位置移動至另一位置，而圖形本身不發(fā)生變化。設點P ( x, y )繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角后到達,則有關系： 變換的矩陣表示1．圖形的數(shù)學模型在二維空間內(nèi)，可以用一個行向量( x y )或列向量來表示一個點的坐標。2．齊次坐標對點向量( x y )和(xˊyˊ)引入第三個分量，使它們成為 ( x y 1 )和 ( xˊ yˊ 1 ),向量 ( x y 1) 和 ( xˊ yˊ 1 ) 中的第三個元素1，可看作是一個附加坐標，即平面上的一個點（二維向量）用三個坐標（三維向量）來表示。通常笛卡爾坐標系中的二維點 ( x y ) 的齊次表達式是(x y H)，其中H≠0，于是，給出點的齊次坐標表達式(x y H)，就可求得二維笛卡爾坐標即：3．圖形變換的基本原理用數(shù)學表達式表示如下： 舊點(集)變換矩陣新點(集) 注意：上面的舊點或新點必須用齊次坐標表示。在齊次坐標表示法中，n維向量的變換是在n+1維空間內(nèi)實現(xiàn)的。對一個二維空間的圖形和三維空間的立體，可用一個點集表示，而每一個點對應一個行向量，可寫成如下的階矩陣表示： 上兩個矩陣即為圖形的數(shù)學模型。比例變換的關系式為： 比例變換有多種用途,現(xiàn)進行討論：(1) 當Sx=Sy時，可把圖形放大或縮??；(2) 當SxSy時，產(chǎn)生的效果相當于把圖形沿平行于坐標軸的方向拉伸或壓縮，使圖形發(fā)生變形；(3) 當Sx或Sy為負值時，變換后的圖形對稱X軸或Y軸，即可產(chǎn)生圖形的鏡像。因此，構成圖形的最基本要素是點。點號 1 2 3 4 5 6 7x值y值3 2 1 0 1 2 3 4 2 3 0 1 2 5用Matlab語言對圖36中4條曲線進行擬合，求出它們的經(jīng)驗公式，并畫出它們的圖形，與原來曲線進行對比（要求繪出結點及擬合曲線）。myfun39。,1)x = min_value = 例如：求函數(shù)在區(qū)間[0,5]內(nèi)的最小值。)函數(shù)的極小值：MATLAB提供了數(shù)個命令來進行數(shù)學函數(shù)的最優(yōu)化，本節(jié)將介紹：．單變量函數(shù)的最小化．多變量函數(shù)的最小化．設定最優(yōu)化的選項較復雜的最優(yōu)化方法可見“最優(yōu)化工具箱”( Optimization Toolbox ）。)line(z2,humps(z2),39。,[1,1])line(z1,humps(z1),39。,[1,2])z1=fzero(39。若fzero無法找出此區(qū)間，則返回NaN。自變量范圍可給定也可不用給定，且自動加標簽。舉例來說，以下的數(shù)學式子，： 上述的“駝峰”函數(shù)已內(nèi)建于MATLAB 目錄之下，可顯示其內(nèi)容如下：以下將以humps 函數(shù)為例，來介紹如何使用相關命令來對此函數(shù)進行繪圖、求根、求極值等運算。在MATLAB中，一般數(shù)學函數(shù)（除多項式外）無法用一個簡單的向量表示，而是用一個MATLAB的函數(shù)（Functions）來表示。以上述10 點數(shù)據(jù)為例，若我們用9 次的多項式來逼近，則此多項式會通過每一個數(shù)據(jù)點。o39。相同的概念，可以延伸到一般的“多輸入／單輸出”( MISO ）或“多輸入／多輸出”( MIMO ) 的數(shù)學模型，例如類神經(jīng)網(wǎng)絡（Artificial Neural Networks ）等。曲線擬合曲線擬合（Curve Fitting ）是數(shù)據(jù)分析的一個重要步驟，其目的是利用有限的采樣點（Sample Points ) 來建立一個數(shù)學模型，并通過此模型進行進一步的預測與分析。)。舉例：function y=func1(x) %函數(shù)命名與變量方法一致a=[90 100 110 120 130 140 150 160 170 180]。所產(chǎn)生的變量也都存放在MATLAB的基本空間內(nèi)，腳本文件最適合用于對付簡單但重復性高的程序代碼，但它不支持輸入及輸出自變量。yi = interp1(x, y, xi, method)向量x是數(shù)據(jù)點的x坐標，向量y是數(shù)據(jù)點的y坐標，向量xi是內(nèi)插點，字符串method則指定使用方法；*線性內(nèi)插法（method = ‘linear’） *拋物線插值（method =’parabolic’） *三次多項式插值（method = ‘cubic’） *三次樣條內(nèi)插（met