函數(shù)值域的求法大全(文件)
【正文】 ：對(duì)于二次函數(shù),⑴若定義域?yàn)镽時(shí)， ①當(dāng)a0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值； ②當(dāng)a0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最大值。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。它的應(yīng)用十分廣泛。小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。一、判別式法求值域的理論依據(jù)例 求函數(shù)的值域象這種分子、分母的最高次為2次的分式函數(shù)可以考慮用判別式法求值域。事實(shí)上，時(shí)，方程（＊）的二次項(xiàng)系數(shù)為0，顯然不能用“”來判定其根的存在情況。錯(cuò)因：解中函數(shù)式化為方程時(shí)產(chǎn)生了增根（與雖不在定義域內(nèi)，但是方程的根），因此最后應(yīng)該去掉與時(shí)方程中相應(yīng)的值。故函數(shù)得值域?yàn)?。四、注意變量代換中新、舊變量取值范圍的一致性例4：求函數(shù)的值域。故函數(shù)得值域?yàn)椤?時(shí) ∵x206。3} ∴再檢驗(yàn) y=1 代入①求得 x=2 ∴y185。2) 由此可得 y185。 例1. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：∵由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：[4，8] 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域?！叽敕匠蹋?）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。 例7. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)? 7. 換元法通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。解：由，可得故可令∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? 8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)? 例18. 求函數(shù)的值域。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋? 10. 一一映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x與y是一一對(duì)應(yīng)的。解：令，則（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取等號(hào)，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。解：令，則∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)都存在，故函數(shù)的值域?yàn)樽ⅲ捍祟}先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用的有界性。 例21. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋? 例20. 求函數(shù)的值域。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ?
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