【正文】 ， 165. 復(fù)合函數(shù)的微分法下面我們來講多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的微分法：定理：若二元函數(shù)在點(diǎn)的鄰域存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)（可微）而，可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在地可導(dǎo)，且。，求注意：在函數(shù)中，本身含有自變量，這時(shí)，我們可以即把復(fù)合函數(shù)中含的自變量看成中間變量，這時(shí)該自變量相對(duì)于其它自變量而言是常數(shù)。于是由復(fù)合涵數(shù)的微分法：＝＝.作業(yè)P174，2 (1) (3) (6) (7) (8)（用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則）；112五、方向?qū)?shù)在研究方向?qū)?shù)以前，先來看一看一元函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的義意：在一元函數(shù)中我們把函數(shù)的改變量與自變量在的改變量之比：叫函數(shù)在的平均變化率，而把叫函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，也叫在的導(dǎo)數(shù)?！鄬?shí)際上表示二元函數(shù)在沿平行于軸（兩個(gè)）方向的平均變化率，而偏導(dǎo)數(shù)則表示函數(shù)在點(diǎn)沿平行于軸兩個(gè)方向瞬時(shí)變化率，它的幾何意義，則表示交線，在點(diǎn)，的切線斜率。定義1在以為頂點(diǎn)的射線上任取設(shè)，若極限存在，則稱此極限是函數(shù)在P0點(diǎn)沿射線的方向?qū)?shù)，記為或。同樣：三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)之間的關(guān)系是：分別表示函數(shù)沿平行軸方向的方向?qū)?shù)；而在沿任意方向的方向?qū)?shù)實(shí)際上是偏導(dǎo)數(shù)沿任意方向的推廣。 ∴有 ∴存在.討論：我們用表示射線在點(diǎn)關(guān)于射線反向的方向?qū)?shù)，那么，是否存在，如果存在（存在，∵與的方向余弦只是一個(gè)頁號(hào)，∴）討論：用分別表示在點(diǎn)軸正方和負(fù)向的方向?qū)?shù)，則：在存在偏導(dǎo)數(shù)的充要條件：最后我們指出Th的條件只是充分的，而不是必要的：即：若在點(diǎn)不可微，則在沿任意線射的方向?qū)?shù)可能存在.例：證明：函數(shù)在點(diǎn)（0,0）不可微，但沿任意射線的方向?qū)?shù)都存在.證明（欲證在（0,0）不可微，只須證明在（0,0）不存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)）∵，當(dāng)時(shí)，不存在，∴在（0,0）不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，同理也不存在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。把對(duì)的關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記為或,即：，同樣有：f″xy(x1y)()討論：或；或表什么意思？把函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，f″yx(x1y)，叫函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。因二階偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，∴求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只須對(duì)一階偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)就可以了。證明：P168例2已知：=，= , =∴，代入方程左邊得：補(bǔ)充作業(yè)：證明：滿足微分方程：設(shè)，求：，設(shè)， , ,求 、.4. 設(shè)，證明：1. 二元函數(shù)的中值定理：若函數(shù)f（x、y）在點(diǎn)P0（xo、yo）的鄰域G存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，則全改變量：其中，這個(gè)定理叫二元函數(shù)的中值定理.在上冊(cè)我曾介紹了一元函數(shù)y=f(x)的泰勒公式：若在a的鄰域存在n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：（0），令a=0，就得到了f（x）.2.（P163）定理2：若函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P（a，b）的鄰域存在n+1階的導(dǎo)數(shù)，則有+…+ .其中符號(hào)（在點(diǎn)P（a，b）的值.當(dāng)點(diǎn)P（a，b）=（0，0）時(shí)，就是麥克勞林公式：f（h，k）=f（0，0）+ （想一想：令h=x，k=y公式的形式怎樣？）.二元函數(shù)的泰勒公式中，當(dāng)n=0時(shí)，有：f（a+h，b+k）=f（a，b）+k. 這就是我們前面介紹二元函數(shù)的中值定理另一種形式.2. 二元函數(shù)的極值：上冊(cè)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的極值，把一元函數(shù)的極值推廣到二元函數(shù)上，就是下面所研究的二元函數(shù)的極值.（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域有有定義：，若稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，并把點(diǎn)叫函數(shù)的一個(gè)極大值；若稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，并把點(diǎn)叫函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)；（2）穩(wěn)定點(diǎn)定義：把方程組的解所確定的點(diǎn)叫函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（3）定理：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，則.注：本定理說明：極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)，但反之不然.（4）極值的充分判別法：設(shè)函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)，,則： 若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，且若，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，則可能是，也可能不是函數(shù)的極值點(diǎn).例1. 求函數(shù)的極值.解：因?yàn)榻獾梅€(wěn)定點(diǎn)：, (為了計(jì)算，先求二階偏導(dǎo)數(shù))， ， A或C不去極值不去極值不去極值極大值所以是極大值點(diǎn)，極大值為.（4）二元函數(shù)的最值：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有定義， (或)，則稱是函數(shù)在區(qū)域的最大值（或最小值），稱其最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）.注：最值可能在區(qū)域內(nèi)部取得，也可能在區(qū)域邊界取得，所以必須把區(qū)域內(nèi)部的全體極值和邊界的全體最值求出來，加以比較方可得到函數(shù)在區(qū)域的最值.例2. 求函數(shù)的最值.解：（先求定義域）函數(shù)的定義域，得穩(wěn)定點(diǎn)，而邊界，（因?yàn)槭浅?shù)，所以可以看成是最大值，也可看成是最小值）所以：，所以函數(shù)的最小值是0，最大值是注：在一些實(shí)際問題中，可以根據(jù)實(shí)際意義判別函數(shù)的最值：若函數(shù)有最大值（或最小值），且在區(qū)域內(nèi)只有唯一的穩(wěn)定點(diǎn)，則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)必是最值點(diǎn).例. 用鋼板制造容積為的無蓋長方形水箱. 問水箱的長、寬、高各為多少時(shí)，水箱的容積最大？分析：設(shè)水箱的長、寬、高各為； 鋼板最省表面積最小，所以：問題轉(zhuǎn)化為：各為多少時(shí)，表面積最小. 這關(guān)鍵是找出：和的函數(shù)關(guān)系.解：設(shè)水箱的長、寬、高各為表面積為，則（想辦法化為二元函數(shù)？）代之有： 得：函數(shù)在區(qū)域有唯一穩(wěn)定點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)域有最小值，所以唯一穩(wěn)定點(diǎn)就是其最小值點(diǎn)，此時(shí). 所以當(dāng)：長寬，高時(shí)鋼板最省.例3. 設(shè)有半徑為的圓的內(nèi)接三角形，問怎樣的內(nèi)接三角形有最大面積？分析：設(shè)面積為，例如：在原點(diǎn)（0,0）的某鄰域內(nèi)確定一個(gè)隱函數(shù)，但卻不能把此隱函數(shù)表成顯函數(shù)的形式.那么怎樣來研究由方程，所確定的隱函數(shù)的分析性質(zhì)呢？這就是下面我們要的隱函數(shù)存在定理.1. 由一個(gè)二元方程確定的隱函數(shù)存在性定理：（1）隱函數(shù)存在定理1：若函數(shù)在以點(diǎn)P(x0，y0)為心的矩形區(qū)域D滿足下列條件：1）2）3）.則：Ⅰ）隱函數(shù),使, ,且 Ⅱ) Ⅲ).討論：定理結(jié)論中的Ⅰ）Ⅱ) Ⅲ)說明什么?例:驗(yàn)證方程在原點(diǎn)(0,0)的某鄰域確定了唯一的隱函數(shù)并求.解:,在點(diǎn)(0,0)為中心的矩形鄰域連續(xù)。討論：求條件極值分幾步？（三步：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)；求函數(shù)的極值點(diǎn).）課堂作業(yè)：例. 求拋物線與直線之間的距離..分析：其距離是指：拋物線與直線上任意兩點(diǎn)的距離的最小值.解：在拋物線和直線上各任取一點(diǎn)與，令（問題就是要求的最小值！）設(shè)且， 設(shè)，則：，. 解該方程組得：，所以函數(shù)在點(diǎn)取最小值：.例. 證明不定式：.分析：設(shè)，則不定式為，所以問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件之下的最小值是.解：設(shè)， ，設(shè)，解方程組 ，的穩(wěn)定點(diǎn)因?yàn)楹瘮?shù)定義域是閉三角形因?yàn)樵谶吔绾蜕系闹担海院瘮?shù)在取最小值，所以. 隱函數(shù)存在Th在幾何上的應(yīng)用一. 空間曲線的切線與法平面首先復(fù)習(xí)一下空間切線的兩點(diǎn)式，設(shè)空間曲線L上有兩已知點(diǎn)P1(x1，y1，z1)與P2(x2，y2，z2)（P1P2），則L的方程：或，其中T＝（a，b，c）3是直線的方向矢量。解：（1）∵在的全部偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；（2）（3），由P215 定理4得由（1）唯一確定隱函數(shù)組：, 于是C的參數(shù)方程為由定理1知：C過P0點(diǎn)的切線的切向量：，（討論要計(jì)算只須先算出什么？）∴對(duì)方程組（1）兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)（把y ，z看成中間變量） 解得∴曲線C過P0點(diǎn)的切向量為：＝（∵成正比例的向量都是切線的方向矢量。（它們的方程怎么寫？）那么當(dāng)曲面S它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是顯函數(shù)而是由方程的隱函數(shù)時(shí)，那么過S上一點(diǎn)的切平面怎樣計(jì)算呢？下面就來推導(dǎo)這個(gè)問題：例：設(shè)曲面S的方程為，在S上取一點(diǎn)（想一想()=0 ?），若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域的全體偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。（P168）的切平面法向量Th總結(jié)起來：切平面的法向量：1）若曲面S：在點(diǎn)鄰域存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。解：把Q(0，2)代入方程，得曲面S上的點(diǎn)=(2，4，8)。）∴曲面過P點(diǎn)的切平面法的法向量（？）例2 求曲面S 在點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切平面方程和法線方程。由P205隱函數(shù)存在Thz得，在存在唯一由方程=0所確實(shí)的具有連續(xù)偏點(diǎn)數(shù)的隱函數(shù)，（討論：在是否可微？可微）且 .從而：曲面S所對(duì)應(yīng)的函數(shù)就是，它在點(diǎn)的切平面的法向量；∴（下面只須找出）∴（∵成比例的向量都是法向量。若在的鄰域內(nèi)與存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且， 不同為0，則曲線過的切線的切向量為：注：也是其法平面的法方向例2求曲線， 在點(diǎn)的切線方程與法平面方程解：令, 則： ， ＝∴切線：即，法平面：即.注：也可以直接計(jì)算：解：，所以方程組唯一確定一函數(shù)組：，所以，曲線的參數(shù)方程為：，將方程組：， 兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)把點(diǎn)代之得：.二、曲面的切平面與法線在前面167。把上面推導(dǎo)寫成一個(gè)定理有：定理：空