【正文】 法 事實(shí)上，對(duì)于線性定常系統(tǒng) 正常工作輸入 干擾 在正常輸入上 迭加干擾信號(hào) 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 即 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的深入分析后面專門介紹。 穩(wěn)態(tài)誤差＝輸出量的期望值－輸出量的實(shí)際穩(wěn)態(tài)值 ? 數(shù)學(xué)描述 控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu) : 常用的有兩種定義穩(wěn)態(tài)誤差的方法 : 1. 從輸入端定義的方法 C(s)= 特殊地 H(s)=1 為單位反饋系統(tǒng) 有 E(s)=R(s) ＝ ＝ R(s) 稱為系數(shù)誤差傳遞函數(shù)，反應(yīng)了在輸入作用下，系統(tǒng)誤差的變化情況（與系統(tǒng)的開環(huán)傳函有關(guān)） . E(s) C(s)= R(s)C(s) 希望輸出的拉氏變換 ? 穩(wěn)態(tài)誤差 的求取 設(shè)系統(tǒng)的誤差 = + 誤差的暫態(tài)分量 誤差的穩(wěn)態(tài)分量 穩(wěn)態(tài)誤差的求?。? (2) 拉氏變換的終值定理 ＝ ＝ 使用終值定理時(shí)注意條。描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)。（對(duì)過阻尼系統(tǒng)） 或響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的 5％上升到穩(wěn)態(tài)值的 95％所需的時(shí)間。 (5) 超調(diào)量 設(shè) c( )是在 處的值，則 (6) 震蕩次數(shù) n 響應(yīng)曲線在 時(shí)刻之前震蕩的次數(shù)，曲線與輸入穩(wěn)態(tài)值相交次數(shù)的一半。 一階系統(tǒng)的分析 分析的思路：一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 穩(wěn)定性 動(dòng)態(tài)性 穩(wěn)態(tài)性 線性系統(tǒng)的重要結(jié)論： 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 穩(wěn)定性分析 ( ) 由穩(wěn)定性的分析有： 時(shí)控制系統(tǒng)穩(wěn) 定 , ，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由微分方程解的知； ? 當(dāng) 時(shí)特征方程的解具有正的實(shí)部。 由于不發(fā)散，稱為臨界穩(wěn)定。 或 二階系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)均大于零（不能等于零，即不能缺項(xiàng)。 計(jì)算動(dòng)態(tài)指 標(biāo)：由 c(t)曲線可知，這里只需計(jì)算， td,t ,t ， %=0,t 不定義， n=0 ? 延遲時(shí)間的計(jì)算 由定義 即 設(shè) 有 e (1+x)= x , td= ? 上升時(shí)間的計(jì)算 由定義，設(shè) ， ， 解：由 得： , , 由 得： , , ? 過渡過程時(shí)間的計(jì)算 由于 單調(diào)，由定義 由上 : . (過阻尼情況 ) =1 + =1 + ( = ) =1 ( = ) =1 =1+ （ C(t) 1 二階過阻尼系統(tǒng)能無差地跟蹤階躍信 號(hào) 性能指標(biāo)的計(jì)算 由 的曲線知， 不定義， ? 的計(jì)算 由定義 可有： 動(dòng)態(tài)性分析 分析思路： ↙由性能指標(biāo)的定義求 % 有三中方法求 (1)求解微分方程 (2)利用拉氏反變換 (3)由 的響應(yīng)的積分（利用線性系統(tǒng)的 結(jié)論） 由前面穩(wěn)定性的分析結(jié)論， 對(duì)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析只需分析 的情況。 ? 時(shí) 同上 ? 時(shí) 同前 小結(jié)：二階系統(tǒng)對(duì)速度信號(hào)的響應(yīng)存在一個(gè)恒定的穩(wěn)態(tài)誤差。 總：二階系統(tǒng)的分析結(jié)果 控制系統(tǒng)的一般分析：指穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)，動(dòng)態(tài)三方面的分析，分三節(jié)講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，階數(shù)越高系統(tǒng)越復(fù)雜 。 控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng) ●如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)各不相同，且均系不為零的實(shí)數(shù)。 對(duì)于三階系統(tǒng)有這樣的結(jié)論（過程略） 振蕩的三階系統(tǒng)（具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）不含零點(diǎn)的情況 （ ） （ ） （當(dāng) 較 更靠近虛軸時(shí)會(huì)出現(xiàn)此種情況） 含零點(diǎn)的情況 （ c ） 非振蕩三階系統(tǒng)（均系實(shí)數(shù)極點(diǎn)，且穩(wěn)定） 無零點(diǎn)的情況 有零點(diǎn)的情況 ( ) ↖ 的作用大于 的作用 還有若干情況不一一列舉 在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，對(duì)于高階系統(tǒng)采用數(shù)字仿 真的方法十分有效，在程序中按照指標(biāo)的定義判斷計(jì)算即可。 當(dāng)系統(tǒng)的極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，其對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減很快，對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)速度影響很小。 在上面的分析中又知道，距離虛軸近的極點(diǎn)是系統(tǒng)的關(guān)鍵點(diǎn)，因此在控制系統(tǒng)的分析中，將距離虛軸近的極點(diǎn)（且其 它極點(diǎn)相對(duì)較遠(yuǎn)，同時(shí)近的這些極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)），稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。這要視具體系統(tǒng)的具體情況。由于零極點(diǎn)在數(shù)學(xué)上位置分別是傳函的分子分母，工程實(shí)際中作用又相反，因此在近似的處理上可相消，近似地認(rèn)識(shí)其對(duì)系統(tǒng)的作用相互抵消了。簡(jiǎn)化后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)求取的方法仍然按動(dòng)態(tài)指標(biāo)的定義求，即先求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，然后在進(jìn)行指標(biāo)的計(jì)算。反之，若在初始擾動(dòng) 的影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn) 定。 （ 3）調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算 ， ( ) 由定義： ， ↖包絡(luò) ， 整理有 ，第一部分是非主導(dǎo)極點(diǎn)的影響， ，第二部分是零點(diǎn)的影響， ，影響大， ， 對(duì)任何系統(tǒng)（高階）均可采用上面的方法去分析其動(dòng)態(tài)性能。 設(shè)某系統(tǒng)（高階）的輸出的拉氏變換為 其中 ， 均是 S 的多項(xiàng)式， 設(shè)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的主導(dǎo)極點(diǎn) ，此時(shí),其中 有 其它零極點(diǎn)的綜合影響 主導(dǎo)極點(diǎn)的結(jié)果 其它零極點(diǎn)的綜合影響 若 是實(shí)數(shù)不是復(fù)數(shù)，可相應(yīng)地求 的拉氏反變換。 偶極子對(duì)：是指若在某一極點(diǎn)的附近同時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，而在該零點(diǎn)，極點(diǎn)的附近又無其它的零點(diǎn) 或極點(diǎn)。 2. 極點(diǎn)附近應(yīng)沒有零點(diǎn)，從數(shù)學(xué)表達(dá)式看極點(diǎn)在分母，零點(diǎn)在分子，正好是相反的作用，相距較近時(shí)數(shù)學(xué)上可抵消，工程中作用也相反。 由上面的分析可見，影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)鍵是系統(tǒng)的極點(diǎn)，在系統(tǒng)的各個(gè)極點(diǎn)中，又以距虛軸近，和距實(shí)軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)為重中之重。有的距實(shí)軸遠(yuǎn)，有的距實(shí)軸近，有的距虛軸遠(yuǎn)，有的距虛軸近，極點(diǎn)的位置反映了系統(tǒng)相應(yīng)的狀態(tài)，動(dòng)態(tài)性能的好壞。 利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和好的仿真軟件，計(jì)算 的數(shù)字解是十分容易的。但工程中為了抓住系統(tǒng)的主要因素，有時(shí)也采用一些近似的處理方法。 即：不能跟蹤加速度信號(hào)。 計(jì)算 %. （性能指標(biāo)的求?。? ? 延遲時(shí)間 的計(jì)算： 由 的定義知： ，代入 的表達(dá)式有： (即 ) 這是一個(gè)含有 的隱函數(shù)的表達(dá)式，整理有： 利用數(shù)值解釋 與 的關(guān)系曲線如圖： 在 內(nèi)近似地有 = 有的書上介紹 = 也是近似值。（這一點(diǎn)從數(shù)學(xué)上十分容易看出） 如 ?? 下面僅對(duì) 的情況分析二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性及穩(wěn)定性。 ? 當(dāng) 時(shí)（過阻尼系統(tǒng)） 系統(tǒng)穩(wěn)定。分析其動(dòng)態(tài)特性無意義。這時(shí)， c(t) 1（對(duì)欠阻尼系統(tǒng)） (3) 峰值時(shí)間 響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。 指輸入的穩(wěn)態(tài)值，對(duì)單位階躍為 1。 利用線性系統(tǒng)的迭加原理 設(shè) R(s)＝ 0 （特別注意：無論 R(s)是否為零，誤差的定義仍然是 E(s)=R(s)B(s)） R(s)=0 時(shí) E(s)=B(s)=H(s)C(s) 由第二章的概念可得，由擾動(dòng)引起的誤差傳遞函數(shù)： ＝ 即 E(s)= ＝ N(s) 注意：當(dāng)擾動(dòng)在不同處加入是， E(s)的表達(dá)式略有不同，但分析思路完全相同的。 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的優(yōu)劣程度，主要是看系統(tǒng)實(shí)際輸出狀態(tài)與希望輸出狀態(tài)之間的差距，及穩(wěn)態(tài)誤差。 注： 的物理概念是指加了擾動(dòng)并消除（與前面擺的運(yùn)動(dòng)平衡點(diǎn)結(jié)合起來 講。 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定嚴(yán)格的的說是有區(qū)別的，但可以證明，在線性系統(tǒng)中，它們是等價(jià)的 。假如系統(tǒng)具有一個(gè)平衡的穩(wěn)定工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)偏離了原平衡狀態(tài)，無論擾動(dòng)引起的偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)消除后，看系統(tǒng)是否能回到原來的平衡狀態(tài)，若能，則認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例如負(fù)載或 能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的的變化、環(huán)境條件的改變等。 時(shí)域分析問題的提法 時(shí)域分析問題是指在時(shí)間域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析，是通過系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)，來建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的性能的定量關(guān)系。 系統(tǒng)辨識(shí)的方法存在許多與工程實(shí)際有關(guān)的問題，如數(shù)據(jù)的檢測(cè)、抗干擾問題、實(shí)時(shí)估計(jì)問題、參數(shù)辨識(shí)、結(jié)構(gòu)辨識(shí)??等等。 數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法的主要思想 系統(tǒng)辨識(shí)的定義：（ Zade h 1962 年） 系統(tǒng)辨識(shí)就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型中，確定一個(gè)可測(cè)系統(tǒng)等價(jià)的模型。 在系統(tǒng)辨識(shí)中有幾點(diǎn)要注意： *只能得到反映系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，不知道（不能反映）系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)中各物理量之間的關(guān)系；外部特性等效； ? 實(shí)驗(yàn)用的激勵(lì)信號(hào)（輸入信號(hào)）應(yīng)該是能夠激勵(lì)起系統(tǒng)中的各個(gè)模態(tài)（狀態(tài)），能夠讓系統(tǒng)充分地運(yùn)動(dòng)，其目的是讓輸出能充分地反映系統(tǒng)的靜、動(dòng)態(tài)特性。 一般地， 為復(fù)數(shù) 它可表示成： 其中 稱為系統(tǒng)的幅頻特性 稱為系統(tǒng)的相頻特性 在形式上可以 證明 或 例：已知描述系統(tǒng)的微分方程為： ，求頻率特性 。 頻域特性模型 在前面介紹脈沖響應(yīng)模型時(shí)，提到在零初始條件下可利用系統(tǒng)卷積積分的方法求系統(tǒng)輸出的時(shí)域響應(yīng) 對(duì)上式兩邊求傅立葉變換，并 利用時(shí)域卷積定理可得到： 或 即 為零初始條件下輸出的付氏變換與輸入的傅氏變換之比。在信號(hào)流圖上利用梅遜公式可方便地求取系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（結(jié)構(gòu)圖的單向性） 例 2 電壓測(cè)量裝置 其中： 待測(cè)電壓（輸入）； 指示的電壓測(cè)量值（輸出）； 誤差信號(hào) 原理框圖： 比較電路 調(diào)制器 放大器 兩相伺服電機(jī) 繩輪傳遞 （ －指針位移） 測(cè)量電位計(jì) 綜合： 將電機(jī)作為一元件后的系統(tǒng)的方框圖： 特點(diǎn)：該系統(tǒng)十分簡(jiǎn)單，除了電機(jī)以外，其余均是比例關(guān)系，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性完全由電機(jī)的動(dòng)態(tài)性能決定。 方框圖的建立 將網(wǎng)絡(luò)看作一個(gè)系統(tǒng)，各元件便是系統(tǒng)中的各個(gè)環(huán)節(jié) 建立方框圖的方法是：（ 1）列出各環(huán)節(jié)（元件）的傳遞函數(shù) （ 2）用圖的形式連接起來。 （ b）圖給出了一種大為簡(jiǎn)化的懸浮系統(tǒng)，設(shè) p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 為系統(tǒng)的輸入，車體的垂直運(yùn)動(dòng)為系統(tǒng)的輸出，只考慮車體在垂直方向的運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 。 例 4 前一節(jié)例 1，機(jī)械位移系統(tǒng) 直接由得到的微分方程模型 ，在零初始條件下，對(duì)上式兩端求拉氏變換有：，整理得該系統(tǒng)得傳遞函數(shù)： 例 5 前一節(jié)例 2 RLC 網(wǎng)絡(luò) 由得到得微分方程模型 ，在零初始條件下，對(duì)上式兩端求拉氏變換有： ，整理得該系統(tǒng)得傳遞函數(shù)： 例 7 如圖表示一個(gè)汽車懸浮系統(tǒng)的原理圖。 法一：列寫系統(tǒng)的微分方程 消去中間變量 在初始條件為 0的情況下，取拉氏變換 求輸出與輸入拉氏變換之比 法二：列寫系統(tǒng)中各元件（各環(huán)節(jié)）的微分方程 在零初始條件下求拉氏變換 整理拉氏變換后的代數(shù)方程組，消去中間變量 整理成傳遞函數(shù)的形式 舉