[高等教育]第五章 第2節(jié) 微積分基本公式(文件)
【正文】 00)()()()()()(??? ???xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF? ??? ?????????0020( ) ( ) ( ) ]()xxxf x x f t d t t f t d tf t d t10 ?? ? ??020( ) ( ) ( )( ) ,( ( ) )xxf x x t f t d tFxf t d t即),0(0)( ?? xxf因?yàn)?,0)(0? ?x dttf所以,0)()( ?? tftx又 ,0)()(0? ??x dttftx從而).0(0)( ??? xxF故所以 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 11 定理 2（原函數(shù)存在定理） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù) .定理的重要意義 （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 . 12 定理 3（ 微積分基本公式 ） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba??? . 又 dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù) , 已知 )( xF 是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù)， ,)()( CxxF ?? ?所以 ].,[ bax ?證 三、牛頓 — 萊布尼茨公式 13 令 ax? ,)()( CaaF ????0)()( ?? ? dttfa aa? ,)( CaF ??),()()( aFxFdttfxa ???得,)()( CdttfxF xa ?? ?由令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ???牛頓 — 萊布尼茨公式 14 )()()( aFbFdxxfba ???微積分基本公式表明 ? ?baxF )(? 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的增量 .注意 當(dāng) ba ? 時(shí)， )()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立 .求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題 . 15 例 5 ?1 20 x dx ?13013 x .31?例 6? ??32111 dxx ?? 31a r c t a n x)1a r c t a n (3a r c t a n ???)4(3 ?? ??? .127 ??16 例 7 求 ??? 20 ( 2 c o s s i n 1 ) .x x d x?原式 ? ?? ? ?202 s i n c o sx x x ?.
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