【正文】 )F x x x??? 1s i n2x x??例2 sin 4( ) 2 , ( ) .xxF x t d t F x???? 求4( ) 2 s i n ( s i n )F x x x??? ? ?42 x??解 ? s in .2 xx44c o s 2 s i n 2 .x x x? ? ? ?8 例 3 求 2c o s120l i m .x txe d tx???解 2c o s1x td e d tdx ??因2c o s ( c o s )xex? ??? 2c o ss i n ,xxe ?? ? ?2c o s120limx txe d tx??? 2c o s0s i nlim 2 xxxex ?????1 1 .22e e?? ? ? ?所以由洛必塔法則 9 例 4 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù) , 且 0)( ?xf . 證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()(在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 ?x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? 0 ()xd f t d tdx ? ),( xf?? ?2000)()()()()()(??? ???xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF? ??? ?????????0020( ) ( ) ( ) ]()xxxf x x f t d t t f t d tf t d t10 ?? ? ??020( ) ( ) ( )( ) ,( ( ) )xxf x x t f t d tFxf t d t即),0(0)( ?? xxf因為 ,0)(0? ?x dttf所以,0)()( ?? tftx又 ,0)()(0? ??x dttftx從而).0(0)( ??? xxF故所以 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 11 定理 2（原函數(shù)存在定理） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個原函數(shù) .定理的重要意義 （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 . 12 定理 3（ 微積分基本公式 ） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba??? . 又 dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一個原函數(shù) , 已知 )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)， ,)()( CxxF