畢業(yè)論文-沃利斯公式的證明及其應(yīng)用(文件)
【正文】 i n d c o suuuI t t t t?? ?? ? ??? 2( 1) ( 1)uuu I u I?? ? ? ?. 因此有21uuuIIu ???. 于是 2 2 1 2 3 12 2 2 2n x xn x n x xIIn x n x x? ? ? ? ? ???? ? ? ?， 2 1 12 2 2 22 1 2 1 3n x xn x n x xn x n x x? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?， 從而 2 1 2 2 10 n x n x n xI I I? ? ? ? ?? ? ?， 即 2 1 2 12 1 22 121 n x n xn x n xIInxn x I I? ? ? ?? ? ?? ????? ， 令 n?? ，利用夾逼定理并整理得到（ 14）式 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 5 頁(yè) 共 14 頁(yè) 注 1 令 0x? ， 可以得到著名的 Wallis 公式 含 沃利斯 公式的不等式 關(guān)于 Wallis 公式 (2 1)!! 1(2 )!!nn n??的研究一直以來(lái)都受數(shù)學(xué)家的關(guān)注 [5] ， 1956 年Kazarinoff 給出了如下 含 Wallis 公式 形式的不等式 [6] 1 ( 2 1 ) ! ! 1( 2 ) ! !( 1 2 ) ( 1 4 )n nnn??????? 本文將 含 Wallis 公式 不等 式 推廣為 當(dāng) 2K? 時(shí)，有下列式子成立 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 1k kK K K n K KK K n KK n n K K? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, （ 15） 或 21 2 1 1( 1 ) ( 1 ) 4k kK K K n K KK K n KK n n K K? ? ?? ? ?? ? ? ?. （ 16） 證明 如果 1K? ，式（ 15）顯然成立 . 如果 2K? ， 用數(shù)學(xué)歸納法證明， 式（ 15）左邊 當(dāng) 1n? 時(shí)，顯然成立 . 假設(shè)對(duì)式子（ 15）的左邊對(duì)于正整數(shù) n 成立，則下面證明對(duì)于 1n? 同樣成立，由歸納假設(shè)，只要證明 1 1 ( 1 ) 1( 1 )1kkK K n KnKK n K n? ? ? ??? ?? , 即 證明 ? ? ? ?1 ( 1 ) 1 ( 1 )kkn n K n Kn? ? ? ? ?, 亦即 11( 1)knn n K??? ???????. （ 17） 根據(jù)伯努利不等式 [7] (1 ) 1kx Kx? ? ? ( 1 , 1 0)x K K? ? ? ?或 . 令 1( 1)x nK?? ?，則 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 6 頁(yè) 共 14 頁(yè) 1 1 1 11 1 1( 1 ) 1knnn n K n n???? ??? ? ? ??? ????????. 所以式 （ 17） 成立 .因此，對(duì)任意正整數(shù) n ，式子（ 15）的左邊成立 . 下面證明式（ 15）的右邊成立 . 當(dāng) 1n? 時(shí)，要證明 (15)的右邊成立，只要證明 112kKKK K??? , 即可， 化簡(jiǎn)可知 這個(gè)不等式成立的充要條件為 2kKK? ，又由于 2K? 時(shí)，有12 ( 2) 0kkK K K K ?? ? ? ?. 因此，此時(shí)式（ 15）的右邊成立 . 假設(shè)式（ 15）的右邊對(duì)于正整數(shù) n ，下面證明 1n? 同樣成立，只要證明 1 ( 1 ) 1 1( 1 )( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1nkK n K KnKn K K n K K? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?, 而 此不等式成立的充要條件為 ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )kkn K K n K n K K n K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 即 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1 kkn K n K n K n K n n K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 18） 但是，由 Newton 二項(xiàng) 式公式，式子 （ 18） 的右 邊 不小于下面的式子： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12( 1 )( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 12k k kKKn K n n K K n K n K?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?11 ( 1 )( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 12k k kKKn K n K n K n K n K?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1k k kn K n K n K K n K n K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1kkn K n K n K?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 kn K n K n K? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以式子 （ 18） 成立 . 因此，對(duì)任意正整數(shù) n ,式子（ 15）的右邊成立 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 7 頁(yè) 共 14 頁(yè) 2 沃利斯公式的應(yīng)用 沃利斯公式在極限計(jì)算 中 的應(yīng)用 由于沃 利斯公式和極限有關(guān)，所以 在計(jì)算一些極限的問(wèn)題可以通過(guò)沃利斯公式會(huì)很容易出來(lái) . 例 1 求極限 1 3 5 (2 1)lim2 4 6 (2 )n n n?? ? ? ???. 解 利用沃利斯 公式 （ ） ，可得 1 3 5 ( 2 1)lim 2 4 6 ( 2 )nn n??? ? ? ? ??? (2 1)!!lim (2 )!!nnn??? ( 2 1 ) ! ! 1l im 2 1( 2 ) ! ! 21n n nn n?? ???? ? ? ??? ??? ( 2 1 ) ! ! 1l im 2 1 l im( 2 ) ! ! 21nnn nn n? ? ? ????? ? ? ??? ??? 2 00?? ? ?. 例 2 設(shè) ( 1)!!!!n nna n ??（ n?? ），試 證 lim 2nn a ??? ? ， 2lim nn a ??? ? . 解 由于 2222 2 2 1 2 1 1222 2 ( 2 2 )nna n n nann n n? ? ? ?? ? ? ?? ?， 21212 1 2 2 1212 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )nna n n nann n n???? ? ? ??? ? ?， 因此 ? ?2na ， ?
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