【正文】 G(z)的極點與零點中不包含位于單位圓上或單位圓外的極點與零點時，才是正確的。 可求得單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ (z)和Φe(z) 、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)與數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù) D(z)間的關(guān)系式為 )()()()(zzGzzDe??? )()()()( zzGzDz e???第 8章 采樣控制系統(tǒng) 為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ (z) 、 Φ e(z)都不應(yīng)含有在單位圓上或單位圓外的極點，這時， G(z)中位于單位圓上或單位圓外的極點，或應(yīng)被 D(z)的零點所抵消，或應(yīng)合并到 Φ e(z)中去，即應(yīng)在 Φ e(z)的零點中包含著 G(z)的位于單位圓上或單位圓外的極點。又因為 D(z)不允許含有位于單位圓上或單位圓外的極點，另外，由于已經(jīng)選定具有關(guān)于 z－ 1的多項式形式 ,所以 G(z)中位于單位圓上或單位圓外的零點既不能為 D(z)的同樣極點來抵消，又不能合并到Φ e(z)中去。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 821 設(shè)單位反饋線性離散系統(tǒng)的連續(xù)部分及零階保持器的傳遞函數(shù)分別為 ))((10)(0 ??? ssssG sesG Tsh??? 1)(已知采樣周期 T=。其中 b1是待定的常系數(shù)。 經(jīng)數(shù)字校正后系統(tǒng)的輸出 11111)()()()(????????zzzzRzzC?? ????? ???? nzzzz 可見，采樣系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在兩個采樣周期結(jié)束，較表 84給出的暫態(tài)時間延長了一個周期，這是由于 G(z)含有一個單位圓外的零點之故。最少拍系統(tǒng)設(shè)計方法簡便，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，但在實際應(yīng)用上存在一些問題。 最少拍系統(tǒng)對參數(shù)變化較敏感。適當(dāng)增長系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的時間 (增加響應(yīng)的拍數(shù) )，是能設(shè)計出既使輸出無紋波又使暫態(tài)響應(yīng)為最少拍采樣周期的系統(tǒng)。無論將連續(xù)系統(tǒng)離散化、對離散系統(tǒng)進行分析（包括性能分析和求響應(yīng)）、對離散系統(tǒng)進行設(shè)計等，都可以應(yīng)用 MATLAB軟件具體實現(xiàn)。 程序如下： %This script converts the transfer function %G(s)=1/s(s+1) to a discretetime system %with a sampling period of T=1sec % num=[1]。其分別用于求離散系統(tǒng)的階躍、脈沖及任意輸入時的響應(yīng)。den=[1 –1 ]。 dend=conv([1 0],dd)。 t=[0::20]。 程序如下： num=10*[1 2]。 impulse(num,den,t) m=1。 tl=[0:Ts:TfTs]。 為了建立線性離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ， 本章引進 Z變換理論及差分方程 。 在穩(wěn)定性分析方面 ， 主要討論了利用 Z平面到 W平面的雙線性變換 ， 再利用勞斯判據(jù)的方法 。 結(jié)合幾個實例介紹了 MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 。 其它 ，諸如穩(wěn)態(tài)誤差 、 動態(tài)響應(yīng)等分析都有闡述 。 本章介紹的 Z變換的若干定理對求解線性差分方程和分析線性離散系統(tǒng)的性能是十分重要的 。 end 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 841 系統(tǒng)脈沖響應(yīng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 小 結(jié) 本章首先討論了離散信號的數(shù)學(xué)描述 ， 介紹了信號的采樣與保持 。 subplot(2,2,1+m) [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts)。 clf subplot(2,2,1) Tf=15。 解 ：求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)可利用 Matlab中的 impulse()及 dimpulse()函數(shù)，設(shè)終端時間為 Tf。 % [nl,dl]=series(numdm,dendm,numg,deng)。deng=[1 1 0]。 圖 839 例 822系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 解： ])1(1[1)(22 ???????zzzssZzzzG)(1)()(2 ???????zzzzGzGz???????????????????543212))(1()()()()(zzzzzzzzzzzRzzC第 8章 采樣控制系統(tǒng) 用 Matlab中的 dstep()函數(shù)可很快得到輸出響應(yīng)，如圖 840所示。 T=1 [numZ,denZ]=c2dm(num,den,T,’zoh’)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 1 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 在 MATLAB軟件中對連續(xù)系統(tǒng)的離散化是應(yīng)用 c2dm()函數(shù)實現(xiàn)的， c2dm()函數(shù)的一般格式為 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 821 已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 838所示，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 167。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 需要強調(diào)指出的是，按照上述方法設(shè)計最少拍系統(tǒng)只能保證在采樣點穩(wěn)態(tài)誤差為零，而在采樣點之間系統(tǒng)的輸出有可能會產(chǎn)生波動 (圍繞給定輸入 )，這種系統(tǒng)稱為有紋波系統(tǒng)。對于一種典型輸入信號設(shè)計的最少拍系統(tǒng)用于其它典型信號時性能并不理想。另外， G(z)中那些位于單位圓上或單位圓外的極點會引起最矩可能的過渡過程時間的增長，而且也將和這些極點的個數(shù)成比例。因此，考慮到上述限制條件 1，以及典型輸入 r(t)＝ 1(t)，即 v＝ 1，可寫成如下形式： )1)(1()( 111 ?? ???? zazze式中 a1 ——待定的常數(shù)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 解 計算給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳送函數(shù) G(z)，即 )0 1 )()(1())(()]()([)(1111110?????????????zzzzzzsGsGZzG h因為 G(z)具有一個位于單位圓外的零點，為滿足上述限制條件 2及 3的要求，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ (z) =1－ Φ e(z) 必須含有項（ 1+ z－ 1 ）及 z－ 1的因子，即 Φ (z)應(yīng)具有一個 z＝－ 。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 根據(jù)上面的討論，可得出按過渡過程在盡可能少的采樣周期內(nèi)結(jié)束的要求選取閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ (z) 、 Φ e(z)時的限制條件，它們是 1．閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ e(z)中必須含有與開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)中那些位于單位圓上或單位圓外的全部極點相同的零點； 2．閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ (z)中必須包含與開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)中那些位于單位圓上或單位圓外的全部零點相同的零點； 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 3．因為在開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)中常常含有 z－ 1的因子，為使 D(z)在物理上能實現(xiàn)，所以要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也含有 z－ 1的因子，以便與 G(z)相關(guān)因子的抵消，則要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Φ e(z)將包含常數(shù)項為 1的關(guān)于 z－ 1的多項式形式。這是因為由于不可避免的參數(shù)漂移會使 D(z)的零點發(fā)生不利于上述完全補償?shù)淖兓?。如果在開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)的極點與零點中含有位于單位圓上或單位圓外的極點或零點時，則不能上面方法 選取 Φ (z)或Φ e(z) 。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 從上面分析看到，如果線性離散系統(tǒng)是對等速輸入信號設(shè)計的最少拍系統(tǒng)，則反應(yīng)位置階躍輸入信號 (其時間冪次低于等速信號 )時的過渡過程會出現(xiàn) 100％的超調(diào)，而反應(yīng)等加速輸入信號 (其時間冪次高于等速信號 )的過渡過程雖無超調(diào)現(xiàn)象，但系統(tǒng)將具有不為零的穩(wěn)態(tài)誤差。過渡過程在兩個采樣周期就可結(jié)束。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 211)1()(,)( ????? zTzzRttr2121 21)1()( ??? ?????? zzzze2121 2)1(1)( ??? ?????? zzzz當(dāng) 或 r=2時得 于是 )21)((2)()()()(2121???????????zzzGzzzzGzzDe且有 1)()()( ???? TzzRzzE e?? ???????????????nn T zTzTzzTzzzzC322112132)1()2()(第 8章 采樣控制系統(tǒng) 表明： 0)3()2(,)(,0)0( ????? ?TeTeTTee?? nTnTcTTcTTcTcc?????)(3)3(,2)2(,0)()0(可見最少拍采樣系統(tǒng)經(jīng)過二拍便可完全跟蹤斜坡輸入，其調(diào)節(jié)時間 ts=2T 。采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)過程可在最少個采樣周期內(nèi)結(jié)束。具有當(dāng)?shù)湫涂刂菩盘栕饔孟略诓蓸訒r刻上無穩(wěn)態(tài)誤差，以及過渡過程能在最少個采樣周期內(nèi)結(jié)束的離散系統(tǒng)，稱為最少拍系統(tǒng)．或有限拍系統(tǒng)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 利用長除法得 ??????????????????????????????1413121110987654321)(zzzzzzzzzzzzzzzC%48%),(),(????超調(diào)量峰值時間上升時間ststpr第 8章 采樣控制系統(tǒng) 167。 當(dāng)閉環(huán)實極點位于 z平面上左半單位圓內(nèi)時 ,由于輸出衰減脈沖交替變號 ,故動態(tài)過程質(zhì)量很差 。若極點位于正實軸上，暫態(tài)分量按指數(shù)衰減。實極點位于單位園內(nèi)，雙向脈沖序列收斂；實極點位于單位圓上，雙向脈沖序列等幅變化；實極點位于單位圓外，雙向脈沖序列發(fā)散。 pi 0時， kiii pAkTC ?)( 動態(tài)過程為交替變號的雙向脈沖序列 。 （ 2）單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 vzzz kTzGzTzTzzGzzEze ?????????????? )]()1[(lim)1()(1)1(lim)()1(lim)(1211)]()1[(lim 1 zGzk zv ?? ? 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0型系統(tǒng)的 kv=0 I型系統(tǒng)的為有限值 II型以上系統(tǒng) 的 kv=0， 第 8章 采樣控制系統(tǒng) （ 3）單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 azzz kTzGzTzzzTzGzzEze 22123211 )]()1[(lim)1(2)1()(1)1(lim)()1(lim)( ???????????????)]()1[(lim 21 zGzk za ?? ?靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 0型及 I型系統(tǒng)的 ka=0 II型系統(tǒng)的為常值 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 采樣系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) )()()( zRzzC ?? ),1/()( ?? zzzR其中iini pzzAzzAzC???? ?? 10 1)(（ Ai為留數(shù)） kiinipAAkTC ???