【正文】 ？ 解： 設容器的底半徑為 r ，高為 h ， 則 無 蓋 圓柱形容器表面積為 rVrrhrS 2ππ2π 22 ???? ，令 02π2 2 ???? rVrS ， 得 rhVr ?? ,π3 ， 由實際問題可知，當?shù)装霃? πVr?與高 rh? 時可使用料最省 。 08074 求曲線 2xy? 上的點，使其到點 A（ 0， 2）的距離最短。 若 對任意 x ，有 )()( xfxf ?? ，則 )(xf 稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于 y 軸對稱。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 ⒌會列簡單的應用問題的函數(shù)關系式。 解：對函數(shù)的第一項，要求 02??x 且 0)2ln( ??x ，即 2?x 且 3?x ；對函數(shù)的第二項，要求 05 ??x ，即 5?x 。 ⒋函數(shù) 392??? xxy的定義域為 。 二、單項選擇題 ⒈下列各對函數(shù)中，（ ）是相同的。選項 D 正確。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“ ??N ”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 求極限有幾種典型的類型 （ 1） aaxaxaxaaxax axakkkkxkkx 21)())((l i ml i m222020 ???????????? （ 2） 1001002 ))((l i ml i m00 xxxxxxxxx baxxxxxx ??????? ???? （ 3）???????????????? ?????????mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100l i m0 ?? ⒋熟練掌握兩個重要極限： limsinxxx? ?0 1 lim( )x xx?? ? ?11 e （或 lim( )x xx? ? ?011 e） 重要極限的一般形式： limsin ( )( )( )???xxx? ?0 1 lim ( ( ) )( )( )f x f xf x? ? ? ?1 1 e （或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x? ? ?011 e） 利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴展形式，再利用重要極限的結論和極限的四則運算法則，如 3133s i nl i ms i nl i m3133s i ns i n31l i m3s i ns i nl i m0000 ?????????xxxxxxxxxxxxxx 9 312122eee])11[(l i m])21[(l i m)11()21(l i m1121l i m)12(l i m ?????????????????????????? ????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性；會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點的概念；會對函數(shù)的間斷點進行分類。 解： 010s i nl i m1s i nl i m)s i n1s i n(l i ms i n1s i nl i m 00020 ?????? ???? xxxxxxxxx xxxxxx 注意： 01sinlim0 ?? xxx （無窮小量乘以有界變量等于無窮小量） 111s i nl i m 1s i n1l i ms i nl i m000 ???????xxxxxxxxx，其中 xxsinlim0? =1 是第一個重要極限。 ⒊⒋⒌⒍設 23)( 2 ??? xxxf ，則 f f x[ ( )]? ? 。 A. e 1x x, ( )?? ； B.sin , ( )xx x ? ?； C. ln( ), ( )1 1? ?x x ； D.x x x? ? ?1 1 0, ( ) 解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以 0sinlim ??? x xx 而 A, C, D 三個選項中的極限都不為 0，故選項 B 正確。 因為 bbxxxf xx ??? ?? ?? )1s i n(l i m)(l i m00 所以，當 1?b 時，有 )(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? 成立，即 1?b 時，函數(shù)在 0?x 處有極限存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時 a 可以取任意值。 )(xf 在點 0xx? 處可導是指極限 x xfxxfx ? ????? )()(lim 000 存在，且該點處的導數(shù)就是這個極限的值。 ⒉了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。 又例如函數(shù) 3 21??? xxy，求 y? 。 函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)。 解： 1)0(0)0()(l i m)(l i m00 ???????? fxfxfx xfxx 故應填 1。 解： 42)( ??? xxf ，故 372445)42(4)42()]([ 22 ????????? xxxxxff 故應填 37244 2 ?? xx 二、單項選擇題 ⒈設函數(shù) 2)( xxf ? ，則 ???? 2)2()(lim2 xfxfx （ ）。 因為 xxxf 11)1( ??，由此得 xxf1)( ?，所以 21)1()( xxxf ????? 即選項 D 正確。而 1)0( ??y ，故選項 C 正確。 解 ]e)[e(e])e([ )()( ????? xfxxfx ffy = ])([e)e(e]e)[e( )()( ???? xfff xfxxfxx = )(e)e(ee)e( )()( xfff xfxxfxx ??? = )]()e(e)e([e )( xfff xxxxf ??? 求復合函數(shù)的導數(shù)時，要先搞清函數(shù)的復合構成，即復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，特別要分清復合函數(shù)的復合層次，然后由外層開始，逐層使用復合函數(shù)求導公式，一層一層求導，關鍵是不要遺漏，最后化簡。 解 1a rc t a n211)1(a rc t a n2 22 ??????? xxxxxxy 21 2a rc t a n2)1a rc t a n2( xxxxxy ???????? 第四章 導數(shù)的應用典型例題 一、填空題 )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 . 解： 212xxy ????，當 0?x 時 0??y .故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 )0,(?? . ??? xxx 1lnlim1 . 解：由洛必達法則 111l i m)1( )( l nl i m1lnl i m 111 ?????? ??? ??? xxxxx xxx )ee(21)( xxxf ???的極小值點為 。 A）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)； B）在 ),( ba 內(nèi)可導； C）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導； D）在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導。 A）極值點 B）拐點 14 C）駐點 D）間斷點 解：選擇 C。 三、解答題 求函數(shù) )1ln( xxy ??? 的單調(diào)區(qū)間。 欲做一個底為正方形，容積為 108 立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最??？ 解：設底邊邊長為 x ，高為 h ，所用材料為 y 且 22108,108 xhhx ?? xhxy 42 ?? 22224321084 xxxxx ???? 232 43224322 xxxxy ?????? 令 0??y 得 60)216(2 3 ???? xx ， 且因為 0,6。 解： cxxx ??? 2d2 ，即曲線方 程為 cxy ?? 2 。 A. 1ln?x ； B. xln ； C. x ； D. xxln 解：因 1lnln)ln()( ?????? xxxxxxxf 故選項 A 正確． ⒉設 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則等式（ ）成立。 A ???0 de xx .B. xxd11??? C. ???0 cos dxx D. xx d1 21??? (4) 若 )(xf 是 ],[ aa? 上的連續(xù)偶函數(shù)，則 )()( ???aa dxxf 。 A. cxF ?? )1( 2 ； B. cxF ??? )1( 2 ； C. cxF ??? )1(21 2； D. cxF ?)( 解：由復合函數(shù)求導法則得 )1)(1(21])1(21[ 222 ???????? xxfxF )1()1)(1(21 222 xxfxxf ??????? 故選項 C 正確． 三、計算題 ⒈計算下列積分： ⑴x x x12?? d ⑵ 122?? xx xd 解：⑴利用第一換元法 ??? ??????? )d(112 1)d(12 1d1 22222 xxxxxxx cxx ?????? ? 22 1)1d( ⑵利用第二換元法，設 tx sin? ， ttx dcosd ? ? ??? ??????? tttt ttt ttxx x 1)ds i n1(ds i ns i n1ds i n c osc osd1 22 222 2 cxxxctt ????????? a rc s i n1c ot 2 ⒉計算下列積分： ⑴ ? xxdarcsin ⑵ ? xxxdln2 解：⑴利用分部積分法 ??? ????? xxxxxxxxxxx d1a rc s i n)(a rc s i nda rc s i nda rc s i n 2 )d(1121a rc s i n 22? ???? xxxx cxxx ???? 21a rc s i n ⑵利用分部積分法 )lnd(1ln)1d(lndln 2 ??? ????? xxx xxxxx x cxxxxxx x ??????? ? 1lnd1ln 2 高等數(shù)學（ 1）第六章學習輔導 16 ??? 10 210 2 33 dttdxx 綜合練習題 （一）單項選擇題 （ 1）．下列式子中，正確的 是（ ）。 解： 42 12)(a rc t a n)( xxxxf ???? 24424444 )1( 62)1( 8)1(2)1 2()( x xx xxxxxf ???? ??????? ⒊已知 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，那么 f ax b x( )? ?? d 。 于是以 6 米為底邊長， 3 米為高做長方體容器用料最省。當01 ??? x 時， 0??y ；當 ????x0 是， 0??y 。 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)， ),(0 bax ? ，且 0)()( 00 ????? xfxf ，則函數(shù)在 0xx? 處（ ）。 由拉格朗日定理條件，函數(shù) )