【正文】 ?t? ，其中 ba ?? )(,)( ???? ，則 ?? ?? ?? ?? dtttfdxxfba )()]([)(。 （ 3） ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(。 推論 2 )(|)(|)( badxxfdxxf baba ?? ??。 2）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 （ 3）特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì) 1）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? 2020 )( c os)( s in?? dxxfdxxf ，特別地， nnn Idxxdxx ?? ?? 2020 c oss in?? ，且 1,2,1 102 ???? ? IIInnI nn ?。 例 1計(jì)算 ?? ?2241sin?? dxexx。 例 1 判斷 ??21 11 dxx的收斂性，若收斂求其值。 （ 3） ],(],()( bccaCxf ?? — 若廣義積分 ?ca dxxf )(與 ?bc dxxf )(都收斂，稱?ba dxxf )( 收斂，若兩個(gè)廣義積分中至少有一個(gè)發(fā)散，稱廣義積分 ?ba dxxf )( 發(fā)散。 （ 3） ),()( ????? Cxf — 若 ???a dxxf )(與 ???a dxxf )(都收斂，稱 ????? dxxf )(收斂，否則稱為發(fā)散。 3） ??? )21( 。 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(1 2 ????? xx dx。 （三）解答與證明題 計(jì)算下列定積分： （ 1） ? ?4542 )sin1(?? dxx 。 （ 5） dxxx x )c os1 11s in(22 107???????。 （ 2）計(jì)算 ??22 a r c ta n|s in|?? dxex x。 （ 4）設(shè) ],[)(),( baCxgxf ? 且 0)( ?xg ，證明：存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ? baba dxxgfdxxgxf )()()()( ?。 （ 2）設(shè) )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)且單調(diào)減少，證明： ??? ??? ?? nnkn dxxffkfdxxf 1111 )()1()()( 。 （ 6）設(shè) ],0[)( aCxf ?? ，且 0)0( ?f ，證明 ： |)(|m a x,2)(],0[20 xfMaMdxxfaxa ????? 三、定積分的應(yīng)用 （一）面積 設(shè) )}()(,|),{( 21 xyxbxayxD ?? ????? ，則 ? ?? ba dxxxA )]()([ 12 ?? 。 曲線繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積： ?? bay dxxfxV |)(|||2?。 （四 ）物理應(yīng)用 — 力、功 例題部分 求由 )()( 222222 yxayx ??? 所圍成的區(qū)域在 222 21 ayx ?? 外部的面積。 （ 1）證明：存在 )1,0(?c ，使得在區(qū)間 ],0[ c 上以 )(cf 為高的矩形面積等于在區(qū)間 ]1,[c 上以 )(xfy? 為曲邊的曲邊梯形的面積。 求擺線 )20(s inc os1 ?????? ?? ?? ttty tx的弧長(zhǎng)。 微分方程的解 — 使得微分方程成立的函數(shù)稱為微分方程的解。 齊次微分方程 （ 1）定義 — 稱 ),( yxfdxdy? （其中 )(),( xyyxf ?? ）為齊次微分方程。 一階非齊線性微分方程 （ 1）定義 — 形如 )()( xQyxPdxdy ?? 稱為一階非齊 線性微分方程。 全微分方程（數(shù)學(xué)一：強(qiáng)化班仔細(xì)說(shuō)明） （ 1）定義 — 對(duì)微分方程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP ，若yPxQ ?????，稱該微分方程為全微分方程。 0),( ???? yyyf 解法：令 py?? ，則dydppdxdpy ????，于 是原方程化為 0),( ?dydpppyf，解出 p 即 y? ，再不定積分即可。 2）若 )(),( 21 xx ?? 分別為（ 1）、（ 2）的兩個(gè)解，則 )()( 21 xx ?? ? 為（ 2）的一個(gè) 解。 6 ）設(shè) )(,),(),( 21 xxx n??? ? 為（ 1 ）的 n 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 解 ， 則)()()( 2211 xkxkxk nn??? ??? ?為（ 1）的通解。 2）當(dāng) 042 ???? qp 時(shí)，特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 21 ??? ，則原方程的通解為 xexCCy 1)( 21 ??? 。 微分方程22 1 yxy ???的通解為 ________________ 。 求微分方程 22 yxyyx ??? 滿足初始條件 1)1( ?y 的特解。 求微分方程 xxeyyy ?????? 23 的通解。 （ 2）方陣 — 行數(shù)和列數(shù)都相等的矩陣稱為方陣。若兩個(gè)矩陣同型且對(duì)應(yīng)元素相同，稱兩個(gè)矩陣相等。請(qǐng)大家多關(guān)注，我常常會(huì)推薦一些很好用的東西給大家。 鯉魚資料下載網(wǎng)，各種資料都有下載。已經(jīng)給大家找好了下載的地址，先按住鍵盤最左下角的“ Ctrl”按鍵， 請(qǐng)直接點(diǎn)擊這里下載 。大家有選擇性的看，都是個(gè)人覺(jué)得非常好的。 （ 4）對(duì)稱矩陣 — 元素關(guān)于主對(duì)角線成軸對(duì)稱的矩陣稱為對(duì)稱矩陣。 2020考研數(shù) 學(xué)導(dǎo)學(xué)班輔導(dǎo)講義 線性代數(shù)部分 — 矩陣?yán)碚? 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。 求微分方程 yyyy ?????? 2 的通解。 （ 1）求微分方程 02)( 3 ??? xdydxxy 的通解。 （ 2）二階常系數(shù)非齊線性微分方程的特解 型一： kxn exPxf )()( ? 型二： )s inco s()( 21 xCxCexf x ??? ?? 例題選講 （一）選擇題 1 、 若 連 續(xù) 函 數(shù) )(xf 滿足 2ln)2()( 20 ?? ?x dttfxf ，則 )(xf 等于 （ ） )(A 2lnxe )(B 2ln2xe )(C 2ln?xe )(D 2ln2 ?xe 2 、具有特解 xxx eyxeyey 3,2, 321 ??? ?? 的三階齊次線性微分方程是 （ ） )(A 0?????????? yyyy )(B 0???????? yyyy )(C 06116 ?????????? yyyy )(D 022 ?????????? yyyy 設(shè) )(xf 是微分方程 0sin ?????? xeyy 的解，且 0)( 0 ??xf ，則 )(xf 在 （ ） )(A 0x 的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 )(B 0x 的某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 )(C 0x 處取極小值 )(D 0x 處取極大值 4 、 xxeyy 22 ????? 的特解形式為 （ ） )(A xAxe2 )(B xeBAx 2)( ? )(C xeBAxx 2)( ? )(D xeBAxx 22 )( ? （二）填空題 微分方程 xxyy c ostan ??? 的通解為 ___________________ 。 特殊情形 — 高階常系數(shù)線性微分方程的解法 （ 1）二階常系數(shù)齊次線性微分方程及解法 稱 0?????? qyypy （ qp, 為常數(shù)）為二階常系數(shù)齊次線性方程， 稱 02 ??? qp?? 為其特征方程。 4）若 )(),( 21 xx ?? 分別為（ ）及（ ）的兩個(gè)解，則為（ 2）的解。 稱 )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ 2） 若 )()()( 21 xfxfxf ?? ，則（ 2）可以分解為如下兩個(gè)方程： )()()()( 11)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ ） )()()()( 21)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ ） 為 n 階非齊線性微分方程。 （二）可降階的高階微分方程 )()( xfy n ? 解法：進(jìn)行 n 次不定積 分即可。 貝努利方程 （ 1）定義 — 形如 )1,0()()( ???? nyxQyxPy n稱為貝努利方程。 一階齊次線性微分方程 （ 1）定義 — 形如 0)( ?? yxPdxdy 稱為齊次線性微分方程。 二、微分方程的種類及解法 （一）一階微分方程及解法 可分離變量的微分方程 （ 1）定義 — 稱 ),( yxfdxdy? （其 中 )()(),( 21 yxyxf ??? ）為可分離變量的微分方程。 第四講 微分方程 一、基本概念 微分方程 — 含有導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。 過(guò) )0(2 ?? xxy 上某點(diǎn)作切線，使該曲線、切線和 x 軸所圍成的圖形面積為 121 ，求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程及所圍成的圖形繞 x 軸一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 求曲線 24 xy ?? 及 0?y 所圍成的圖形繞 3?x 一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。 （三）弧長(zhǎng) 設(shè) ))((: bxaxfyL ??? ，則 dxxfds )(1 2??? ，從而 ? ??? ba dxxfl )(1 2。 旋轉(zhuǎn)曲面的表面積：設(shè) ))((: bxaxfyL ??? ，則 dxxfxfdsxfdA )(1|)(|2|)(|2 2???? ?? ，于是 ? ??? ba dxxfxfA )(1|)(|2 2?。 （ 4）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? 且單調(diào)減少，證明：當(dāng) 10 ??? 時(shí)，有 ?? ? 100 )()( dxxfdxxf ??。 （ 6）設(shè) 0)0(),0](,[)( ?????? faaaCxf ， 1）寫出 )(xf 的帶拉格郎日余項(xiàng)的一階馬克勞林公式； 2）證明：存在 ],[ aa??? ，使得 ????? aa dxxffa )(3)(3 ?。 （ 2）設(shè) )(xf 連續(xù)，證明： ?? ???? baba dxxabafabdxxf ])([)()(。 設(shè) ],[)( aaxf ?? ，且 Axfxf ??? )()( ， )(xg 為偶函數(shù)。 （ 3） ? ??0 cossin sin xx xdxx 。 _ _ _ _ _ _ _ _co s11 0 00 ??? dxx?。 )/1s in2/12s in1s in(lim nnn nn nn ??????????? ?。 （ 2）性質(zhì) 1） )()1( ??? ???? 。 例 計(jì)算 ??? ?1 21 xdx。 （ 2） ),[)( baCxf ? — 若對(duì)任意的 0?? ， ? ??? ?? ba dxxf )(lim0存在，稱廣義積分?ba dxxf )( 收斂，否則稱為發(fā)散。 例 3 計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx。 3）?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c os2c os 200?? 。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()(，其中 a 為任意常數(shù)。 （ 7 ）（積分中值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則存在 ],[ba?? ，使得))(()( abfdxxfba ??? ?。 （ 5）設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf。 （四）定積分性質(zhì) 基本性質(zhì) （ 1） ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([。 例 2 設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 ? ?? x dttxtfxF0 22 )()(，求 )(xF? 。 注解（ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 （ 5）若一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則該函數(shù)在區(qū)間上可積。 [注解 ]（ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無(wú)關(guān)。 2）第二類換元積分法 CxGC