大數(shù)定理與正態(tài)分布(文件)
【正文】 ()nnnn i ii=nnY E YZ X μsDY則和的標準變量為： 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 設(shè)獨立隨機變量 ?????? , 21 nXXX有 ,? ??? ? 2211lim ( ) ( ) 0?? inniix μ sninx μ f x d xs?()ifx其中 iX是隨機變量 的概率密度 , 若對于任意的正數(shù) , ?滿足林德伯格條件則稱 ?? nXXX , 211)(,0)( ?? nn ZDZE即具體不去證明。所以，按照列維定理，次試驗中發(fā)生的次數(shù)：在顯然，事件 ???niin XYnA1當 n 充分大時 , 變量 近似地服從正態(tài)分布 nY ? ? . n p qnpN ，由于隨機變量 服從二項分布 ? ?， pnBnY 所以 棣莫弗 — 拉普拉斯 定理說明 : ? ? pnB ，? 的隨機 ? ? 1221 ???????? ??????????? ?????n p qnpmn p qnpmmYmpn)1,0(~ NZY n 的標準變量由于第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1211 ））（（不超載的概率大于裝多少箱，才能保障理說明每噸車最多可以運，試利用中心極限定噸的汽車承為千克，若用最大載重量千克，標準差為平均重量品成箱包裝，假設(shè)每箱分）一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)數(shù)學三、四（555092021??.5 n噸的概率，求其中的小于等于不超載的概率即總重量方差已知且獨立，量之和，每箱重量均值分析：總重量為每箱重千克）故：千克，則由已知箱的重量，是第其中解：設(shè)(5)(,50)(,5)(50)(.,2,1,1nYDnYEXDXEniiXXYnniiiniin?????? ???千克的概率由此求不超載即態(tài)分布的標準變量服從標準正由列維中心極限定理，5000),1,0(?nnYNY第十二講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識 )5505000()5505000550())()(5000)()(()5000(1nnzzPnnnnYPYDYEYDYEYPYPnnnnnnn????????????????)2()5 505000()5000( ?? ????? n nYP n箱。小不影響整體求和的極很大時部分項的由于很即非常小，所以都趨于和的每一項它是說條件式子中林德伯格條件的意義：n0?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 則當 時， ??n? ??? ?2 21lim ,2 πtznn P Z z e d t?? ?有 設(shè)獨立隨機變量 ?????? , 21 nXXX 滿足林德伯格條件 : 有 ,? ??? ? 2211lim ( ) ( ) 0?? inniix μ sninx μ f x d xs?()ifx其中 是隨機變量 的概率密度 , iX即對于任意的正數(shù) , ?????????????21 2()1li m ,2 πntiizi=nnX μP z e dts ???(z 為任意實數(shù) ) 即 林德伯格定理長一些，我們不去證明，這里只解釋它的意義： 時服從標準正態(tài)分布當個變量和的標準變量氏條件，則個獨立隨機變量滿足林要林德伯格定理指出，只????? nYYEYznnnnn)()(?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 列維定理 服從相同的分布， 并且有數(shù)學期望和方差： .,2,1,0)(,)( 2 ???????????? niXDXEii則當 時， ??n,21lim 212???????????????????????ztniindteznnXP??? (z 為任意實數(shù) ) 設(shè)獨立隨機變量 ?????? ,21 nXXX它們和的極限分布是正態(tài)分布，即 在中心極限定理中，我們重點關(guān)注列維 林德伯格定理和拉普拉斯中心定理 需要熟練地記?。核裕臈l件和結(jié)論出現(xiàn)在考試題中，列維中心極限定理經(jīng)常不進行詳細解說，但是幫助不大，我們推導(dǎo)一樣，對我們解題該定理的證明和條件的第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ????????????112=nii=Xn μxn μ xn μPn n n??? ? ??121()nii=P x X x??)1,0(~)()(,)1(121NnnXYYEYznXXXnniinnnn???????????????：即：變量服從標準正態(tài)分布時，它們的和的標準林氏條件，即存在，就說明它們滿足，期望方差只要滿足獨立，同分布個隨機變量dtezZPzF zt? ?? ???? 2221)()(?即：)()()( 12221 212zzdtezZzP zzt?? ????? ? ?)()()( 1221 zzn nxZn nxP ?? ??????? ? ?? ?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 各次實驗中發(fā)生的概率為 ? ?，10 ?? pp棣莫弗 — 拉普拉斯定理 n 次實驗中發(fā)生的次數(shù) , 則有 ? ???????????????? ztnndteznpqnpYP ， 2221lim?其中 z 是任何實數(shù)， .1?? qp設(shè)在獨立實驗序列中 , 事件 A 在 nY隨機變量 表示事件 A 在 .??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?21xn μ xn μnn? ? ???,12xx 為任意實數(shù) ?121()nii=P x X x??),(~),1,0(~)()()2(212 ???????nnNXYnnYZNnnYYYEYZniinnnnnn?????????的正態(tài)分布，即：，方差為均值為服從為標準變量，第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 n p qXDnpXEniiAXiii????)(,)(10).,2,1與方差。量的正態(tài)分布，求隨機變，方差為值為相互獨立，且都服從均設(shè)兩個隨機變量YXYX?210,為標準正態(tài)分布即為服從正態(tài)分布，且均值也，因此獨立可加減，方差均值解：令)1,0(~.1,0,NZDYDXDZEYEXEZZYXZ????????),0(,2,2221)(,)()(220222???????????????????????tz d zdtztdzzedzezZEdzzzZEzz令偶偶的偶：???第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ?? ?? ???? ?? 020 2222)(2dtedzzeZE tz?????222)1(22 ????101)]([)()(),(1,02222????????ZEDZZEZEZEDZEZ 即：求由已知?21)]([)()()(][2222????????ZEZEZDYXDEXEXDX由方差的均值公式：五、中心極限定理 ： 大數(shù)定理告訴我們，隨機變量個數(shù)很大時，獨立隨機變量之和收斂于其均值的和。21)0()(。未必獨立；與服從二維正態(tài)分布；一定獨立；和們不相關(guān)，則：都服從正態(tài)分布，且它和設(shè)隨機變量YXDYXCYXBYXAYX?)()(),)(()(例題 1133（ 2021，數(shù)三， 4分） CABYXYX也不成立，顯然選因此
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