第七章∶空間解析幾何向量代數(shù)(文件)
【正文】 存在定理 3 設(shè) ),( vuyxF , ),( vuyxG 在點(diǎn) ),( 0000 vuyxP 的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又 0),( 0000 ?vuyxF ， 0),( 0000 ?vuyxG 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)的行列式 vGuG vFuFvuGFJ???? ???????? ),( ),( 在點(diǎn) ),( 0000 vuyxP 不等于零則有 。向量 T={φ39。 通過點(diǎn)而與切線垂直的平面稱為曲線 Г 在點(diǎn) M處的法平面，它是通過點(diǎn) M（ x0， y0， z0）而以 T為法向量的平面 法平面的方程 φ39。 例 求曲線 32 , tztytx ??? 在點(diǎn) )1,1,1( 處的切線方程和法平面方程。這切平面的方程是 Fx（ x0， y0， z0）（ xx0） +Fy（ x0， y0， z0）（ yy0） +Fz（ x0， y0， z0）（ zz0） = 0 通過點(diǎn) M（ x0， y0， z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線。 方向?qū)?shù)與梯度 一、 方向?qū)?shù) 定理 如果函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),( 00 yxP 可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)存在，且有 ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? 二、 梯度 jyxfiyxfyxg r a d f yx ),(),(),( 000000 ?? ?? c os),(c os),( 0000).( 00 yxfyxflf yxyx ???? = eyxgradf ?),( 00 多元函數(shù)極值的求法 一、 多 元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz? 的定義域?yàn)?),(, 00 yxPD O 為 D 的內(nèi)點(diǎn)，若存在 0p 的某個(gè)鄰域DPU ?)( 0 ,使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 0P 的任何點(diǎn) ),( yx ,都有 ),(),( 00 yxfyxf ? 則稱函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),( 00 yx 有極大值 ),( 0 oyxf ,點(diǎn) ),( oo yx 稱為函數(shù) ),( yxf 的極大值點(diǎn)。 定理 1（必要條件） 設(shè)函數(shù) z = f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) (x0,y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： fx(x0,y0) = 0， fy(x0,y0) = 0。 第三步 定出 ACB2的符號(hào)，按定理 2的結(jié)論判定 f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。 二、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) z = f(x,y)在附加條件 φ(x,y) = 0 下的可能極值點(diǎn) ，可以先構(gòu)成輔助函數(shù) F（ x,y） = f(x,y)+λφ(x,y) ， 其中 λ 為某一常數(shù)。 第 九 章：重積分 本章知識(shí)點(diǎn) 二重積分的概念和性質(zhì)。 重點(diǎn) :重積分的計(jì)算 難點(diǎn)：重積分的 計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 一、 二重積分的概念 為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個(gè)實(shí)際問題。但 ρ （ x， y）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域 D s i的直徑很小，這些小塊就 可以近似地看作均勻薄片。這種立體叫做曲頂柱體。通過求和，取極限，便得出 。 定義 設(shè) f（ x， y）是有界閉區(qū)域 D上的有界函數(shù)。（ *） 其中 f（ x， y）叫做被積函數(shù)， f（ x， y） ds 叫做被積表達(dá)式， ds 叫做面積元素，x與 y叫做積分變量， D叫做積分區(qū)域， 叫做積分和。因此在直角坐標(biāo)系中，有時(shí)也把面積元素 ds 記作 dxdy，而把二重積分記作 其中 dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素。例如 。 性質(zhì) 4 如果在 D上， f（ x， y） = 1， s 為 D的面積，則 。 性質(zhì) 6 設(shè) M， m分別是 f（ x， y）在閉區(qū)域 D上的最大值和最小值， s 是 D的面積，則有 。 一、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 下面用幾何的觀點(diǎn)來討論二重積分 的計(jì)算問題。 為計(jì)算截面面積，在區(qū)間 [a， b] 上任意取定一點(diǎn) x0，作平行于 yOz面的平面 x=x0。（ 1） 上 式右端的積分叫做先對(duì) y、后對(duì) x的二次積分。 類似地，如果積分區(qū)域 D可以用不等式 ψ 1（ y） ? x ? ψ 2（ y）， c?y?d 其中函數(shù) ψ 1（ y）、 ψ 2（ y）在區(qū)間 [c， d] 上連續(xù)，那末就有 。如果積分區(qū)域 D既是 X型的，又是 Y型的，則由公式（ 1’ ）及（ 2’ ）就得 。 例 1 計(jì)算 ，其中 D是由直線 y = x = 2及 y = x所圍成的閉區(qū)域。 按二重積分的定義有 ， 由于在直角坐標(biāo)系中 也常記作 ，所以上式又可寫成 這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式為 (1)0?r?φ （ θ ）， α?θ?β 。 。 例 4 求球體 x2+y2+z2?4a 2圓柱面 x2+y2=2ax（ a0）所截得的（含在圓柱 面內(nèi)的部分）立體的體積。記作???? dxzyxf ),( . 三、 三重積分的計(jì)算 1． 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重 積分 ? ?xyDyxyxzzyxzzyx ????? ),(),(),(),( 21 . ?? ),(),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF ?? ddzzyxfdyxFD Dyxzyxzxy?? ?? ? ???????),(),(21 ),(),( ? ?bxaxyyxyyxD xy ????? ),()(),( 21 ?????? ?? ),( ),()( )( 2121 ),(),( yxz yxzxy xyba dzzyxfdydxdvzyxf 例 1 計(jì)算三重積分 ???? xdxdydz,其中 ? 為三個(gè)坐標(biāo)面及平面 12 ??? zyx 所圍成的區(qū)域。 二、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力 。 用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ???????? ? ,s i n),(),(2 ????? ddr drrFdx dy dzzyxf 例 3 求半徑為 a 的球面與半頂角為 a 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。將 ? 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 , 21 nvvv ??? ? 其中 iv? 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的體積。于是 。 由二重積分的性質(zhì) 4，閉區(qū)域 D的面積
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1