有限維線性空間的基(文件)
【正文】 1．這是基本的習(xí)題內(nèi)容 [3，習(xí)題 6]的 3（有 8個(gè)小題）、 8（有 4個(gè)小題）、 13（有 3個(gè)小題）、 1 1 1 18題。 12, sV V VV V12, sV V V 例 4（見(jiàn) [6]） 設(shè) 為數(shù)域 上 n維線性空間 (n≥1). 證明： 必存在 中一個(gè)無(wú)窮的向量序列 使得 中任何 n個(gè)向量都是 的一組基 . V? ? 1i i? ??? ? 1i i? ??VV P? ? ? ? ? ?12 1 , 0 , , 0 , 0 , 1 , 0 , , 0 , , 0 , , 0 , 1n? ? ?? ? ? ? ? ? ?同樣，依次取向量 使得 23,nn???? ?12n m m m n m? ? ? ?? ? ? ?? ? ?11 ,nn? ? ?? ? ? ?取另一向量 則顯然有從以上 n+1向量中選出 n個(gè)均可作為 n維 線性空間的一組基 . 證明：采用構(gòu)造法 . 取 n維線性空間的一組基 這樣得到一個(gè)無(wú)窮 的向量序列 ? ? 1 .i i? ??… … ， ? ? ? ? ? ?12 1 1 1 ,k m nh h h m h m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1 1 0n n n n n nx h x h x h m x h m????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???下證，從中任選 n個(gè)，它們均線性無(wú)關(guān) . 12, , , ,ni i i t t ti h n m? ? ? ??從而不妨任選 11 0,ni n ixx??? ? ?令 得 從構(gòu)造中易得， ? ? ? ?1 1 1 1 1 0n n nx h m x h m? ? ? ? ? ? ?11 0nnx h x h??從而 （ *） ,k hn m??又 ? ?? ?? ? ? ?12212
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鄂ICP備17016276號(hào)-1