吳贛昌編《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第五章(文件)
【正文】 ] , 0 11 , 1nnn i nxF x P X x P X x X x X x F x x xx???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 所以 21( ) ( ) 2 , 0 1( ) [ ( ) ] 0,nnn n x xf x F x o th e r?? ????? ??； 最小順序統(tǒng)計量 (1 ) 1 2m in( , , , )nX X X X? 的分布函數(shù)為 ( 1 ) 1 2( ) {m in( ) } 1 {m in( ) } 1 { , , .. . }i i nF x P X x P X x P X x X x X x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 , 01 [1 ( ) ] 1 [1 ] , 0 11 , 1nnxF x x xx???? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 所以 21( 1 ) ( 1 ) 2 [ 1 ] , 0 1( ) [ ( ) ] 0 , ,nn x x xf x F xo th e r?? ? ? ???? ?? 1套用 11 題的公式。 （ 1） ”沒有元件在 800小時之前失效 ”等價于“ 6個元件中使用壽命最短的那一個都超過 800小時。 （ 1）求 ),( 21 nXXX ? 的分布律； （ 2）求 ??ni iX1的分布律； （ 3）求 E (X ), D (X ), E (S 2 ). 解：（ 1）（ X1，… ， Xn）的分布律為 ?? ? ?? ?????? nk iink kkn kk PPiXPinXiXiXP 1 112211 )1(}{},{ 獨立? = .,1,10,)1( 11 nkiPP kini ni knk k ???? ?? ?? ? 或 （ 2） ??ni i pnbX1 ),(~ （ 3） E (X )=E (X )=P， )1()()()()(2 PPXDSEnPnXDXD????? 1套用 11 題的結(jié)果，求出最大順序統(tǒng)計量和最小順序統(tǒng)計量的密度函數(shù)，再求數(shù)學(xué)期望，即第三章中最大分布與最小分布的數(shù)學(xué)期望。 1212 ||{ | | } 1 { } 2 ( 1 ( ) ) 0 . 0 522 / 2 /XX nP X X P nn ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ( ) 2n??，所以 2n?，即 ? ， n 最小取 8 設(shè)總體 X的期望為 ? ，方差為 2? ，若至少要以 | | ???? ，問樣本容量 n 應(yīng)取多大。 解： 因為 22221 ( 1 )( ) ~ ( 1 )in i j i iiijXX nS n????? ???? 再由卡方分布具有可加性， 所以 2 2 21 1 1( ) ( 1 ) ~ ( )inkki j iii j iXXW n n k???? ? ??? ? ? ?? ? ? 設(shè) X和 Y相互獨立且都分布于 (0,9)N ， 1 2 9, ,...,X X X 和 1 2 9, ,...,Y Y Y 分別為取自 X和 Y的樣本。 解：由題意 21 1 2 61 ( . . . ) ~ ( , )66Y X X X N ??? ? ? ?， 22 7 8 91 ( ) ~ ( , )33Y X X X N ??? ? ?， 所以 212~ (0, )2Y Y N ??，即 12~ (0,1)/2YY N? ?， 又 9 2222 71 ( ) ~ ( 2 )ii XY ?? ? ??， 所以，由 T 分布的定義知，9 222 7121 ()~ ( 2)2/2 iiXYYYt?? ??? ? 即 122 ( ) ~ ( 2 )YYZtS ?? 設(shè) 1 2 15, ,...,X X X 來自于正態(tài)總體 ~ (0,4)XN 的樣本，判斷 2 2 21 2 1 02 2 21 1 1 2 1 5...2 ( .. . )X X XY X X X? ? ?? ? ? ?服從什么分布。分別從兩總體中取容量都為 400的樣本，設(shè)兩樣本獨立，分別記樣本均值為 X 和 Y ，用切比雪夫不等式估計 k，使 { | | } X Y k? ? ? 解：由題意 EX EY? ， 4 0 0 9 0 01 , 2 . 2 54 0 0 4 0 0D X D YD X D Ynn? ? ? ? ? ? 所以 ( ) 0 , ( ) 3 .2 5E X Y D X Y? ? ? ?，由切比雪夫不等式 22( ) 3 . 2 5{ | | } { | ( ) ( ) | } 1 1D X YP X Y k P X Y E X Y k kk?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由題意 ??，解得 k= （ 2） 設(shè)（ 1）中的總體是正態(tài)總體，求 k 解：由題意 ~ (0, )X Y N? ， ~ (0,1) N?，則 | ( ) |{ | | } { } 2 ( ) 13 . 2 5 3 . 2 5 3 . 2 5X Y k kP X Y k P ?? ? ? ? ? ? ? 由題意 2 ( ) 1 0 .9 93 .2 5k? ? ?，解得 ? 從一正態(tài)總體中抽取容量為 16的樣本，假定樣本均值與總體均值之差的絕對值大于 2的概率為 ，求總體的標準差。 （ 1）求 22{ }SP ? ?；（ 2）求 2DS 解：（ 1）因為 2 22( 1) ~ ( 1)nS n??? ?，所以對容量為 16的樣本有 2 2215 ~ (15)S ??， 所以 2 2 22 2 21 5 1 5{ 2 . 0 4 1 } { 3 0 . 6 1 5 } 1 { 3 0 . 6 1 5 } 1 0 . 0 1 0 . 9 9S S SP P P? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）因為 2 22( 1) ~ ( 1)nS n??? ?，所以 22( 1)[ ] 2 ( 1)nSDn?? ?? 所以 4 2 4 4 422 2 2( 1 ) 2 2[ ] 2 ( 1 ) ( 1 6 )( 1 ) ( 1 ) 1 1 5nSD S D n nn n n? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? 設(shè)總體 ~ ( ,16)XN? ， 1 2 10, ,...,X X X 為來自總體的樣本，已知 2{ } S a??，求 a 。則以下統(tǒng)計量服從何分布。 解：設(shè) 22122 0 , 3 5 , 8 , 1 0nm??? ? ? ?， 21S 和 22S 分別為兩個樣本方差。 解： 212~ (0 , 2 )X X N ?? ，所以 2 2122()~ (1)2XX ???，同理 2 2122()~ (1)2XX ???， 所以 212212()~ (1,1)XX FXX?? 221 2 1 21 2 1 2( ) ( ){ 4 } 1 { 4 }( ) ( )X X X XPPX X X X??? ? ? ???，而 (1,1) 4F? ? ，因表中沒有該值，無法得到。 解：因為 2 22( 1) ~ ( 1)nS n??? ?， 所以 2 2 22 2 2( 1 ) ( 1 ){ 1 . 5 } { 1 . 5 ( 1 ) } 1 { 1 . 5 ( 1 ) }S n S n SP P n P n? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 因而不等式變?yōu)?22( 1 ){ 1 . 5 ( 1 ) } 0 . 0 5nSPn?? ? ? ?， 所以要滿足該不等式，就需要 ( 1) ( 1)nn? ? ? ?（參照卡方分布圖） 利用卡方分布表，可以看出，當 27n? 時有 ( 1) ( 1)nn? ? ? ?。 解： ~ (12,)XN ，所以 12 ~ (0,1) N? （ 1） | 1 2 | 1 1{ | 1 2 | 1 } { } 2 [ 1 ( ) ]
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