【正文】 29A 個(gè)， 由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：3 2 29 9 9 648A A A? ? ?． 解法 3：從 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù) 字中任取 3 個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 310A ， 其中以 0 為 排頭 的排 列 數(shù)為 29A ， 因 此符 合條 件的 三位 數(shù)的 個(gè)數(shù) 是3210 9 648AA?? 29A ． 說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植?，直接?jì)算符合條件的排列數(shù)如解法 1， 2；間接法：對于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法 3．對于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏 【例 12】（ 1） 7 位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作： 7 個(gè)元素的全 排列 77A ＝ 5040． （ 2） 7 位同學(xué)站成兩排（前 3 后 4），共有多少種不同的排法？ 解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理： 7654321＝ 7！＝ 5040． （ 3） 7 位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：余下的 6 個(gè)元素的全排列 —— 66A =720． （ 4） 7 位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ 解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有 22A 種； 第二步 余下的 5 名同學(xué)進(jìn)行全排列有 55A 種，所以，共有 22A 55A? =240 種排列方法 （ 5） 7 位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排 尾的排法共有多少種？ 解法 1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的 5 位同學(xué)中選 2 位同學(xué)站在排頭和排尾有 25A 種方法；第二步從余下的 5 位同學(xué)中選 5 位進(jìn)行排列（全排列）有 55A 種方法，所以一共有 25A 55A ＝ 2400 種排列方法 解法 2：（排除法）若甲站在排頭有 66A 種方法；若乙站在排尾有 66A 種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有 55A 種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有 77A －662A ＋ 55A =2400 種． 說明：對于 “在 ”與 “不在 ”的問題，常常使用 “直接法 ”或 “排除法 ”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮 【例 13】從 10 個(gè)不同的文藝節(jié) 目中選 6 個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？ 解法一：（從特殊位置考慮） 1360805919 ?AA ； 解法二：（從特殊元素考慮）若選： 595A? ；若不選： 69A ， 則共有 56995 1360 80AA? ? ? 種； 解法三：（間接法） 6510 9 136080AA?? 【例 14】 7 位同學(xué)站成一排， （ 1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？ [來源 :學(xué)科網(wǎng) ] 解：先將甲、乙兩位同學(xué) “捆綁 ”在一起看成一個(gè)元素與其余的 5 個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有 66A 種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué) “松綁 ”進(jìn)行排列有 22A 種方法．所以這樣的排法一共有 621440AA?? 種 （ 2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué) 都相鄰的排法共有多 少種？ 解：方法同上，一共有 55A 33A ＝ 720 種 （ 3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？ 解法一：將甲、乙兩同學(xué) “捆綁 ”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6 個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的 5 個(gè)元素中選取 2 個(gè)元素放在排頭和排尾，有 25A 種方法； 將剩下的 4 個(gè)元素進(jìn)行全排列有 44A 種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué) “松綁 ”進(jìn)行排列有 22A 種方法．所以這樣的排法一共有 25A 44A 22A ＝ 960 種方法 解法二：將甲、乙兩同學(xué) “捆綁 ”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6 個(gè)元素，若丙站在排頭或排尾 有 2 55A 種方法， 所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有 960)2( 225566 ??? AAA 種方法 解法三：將甲、乙兩同學(xué) “捆綁 ”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6 個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有 14A 種方法，再將其余的 5 個(gè)元素進(jìn)行全排列共有 55A 種方法，最后將甲、乙兩同學(xué) “松綁 ”，所以，這樣的排法一共有 14A 55A 22A ＝960 種方法． （ 4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起 解：將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué) “捆綁 ”在一起看成一個(gè)元素，另外四個(gè)人 “捆綁 ”在一起看成一個(gè)元素，時(shí)一共有 2 個(gè)元素， ∴ 一共有排法種數(shù)： 3 4 23 4 2 288A A A ? （種） 說明：對于相鄰問題，常用 “捆綁法 ”（先捆后松）． 【例 15】位同學(xué)站成一排， （ 1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？ 解法一：（排除法） 3 6 0 0226677 ??? AAA ； 解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有 55A 種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為 “空 ”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有 26A 種方法，所以一共有 36002655 ?AA 種方法． （ 2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？ 解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有 44A 種方法，此時(shí)他們留下五個(gè) “空 ”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè) “空 ”有 35A 種方法，所以一共有 44A 35A ＝ 1440 種． 說 明：對于不相鄰問題，常用 “插空法 ”（特殊元素后考慮）． 【例 16】 5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（ 1）男女相間；（ 2）女生按指定順序排列。 三、知識運(yùn)用 【例 1】計(jì)算：（ 1） 316A ； （ 2） 66A ； （ 3） 46A ． 解：（ 1） 316A ＝ 16 15 14?? ＝ 3360 ；（ 2） 66A ＝ 6! ＝ 720 ；（ 3） 46A ＝ 6 5 4 3? ? ? ＝ 360。 〖問題 2〗．從 , , ,abcd 這四個(gè)字母中，每次取出 3 個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法？ 分析：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的字母，在 4 個(gè)字母中任取 1 個(gè)，有 4 種方法；第二步確定中間的字母，從余下的 3 個(gè)字母中取，有 3 種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的 2 個(gè)字母中取，有 2 種方法 由分步計(jì)數(shù)原理共有： 432=24 種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法 二、 數(shù)學(xué)構(gòu)建 1．排列的概念： 從 n 個(gè)不同元素中，任 取 m （ mn? ）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一 定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列。 排 列 【教學(xué)目的】理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)；能用 “樹型圖 ”寫出一個(gè)排列中所有的排列；能用排列數(shù)公式計(jì)算。 說明：（ 1）排列的定義包括兩個(gè)方面： ① 取出元素， ② 按一定的順序排列； （ 2）兩個(gè)排列相同的條件： ① 元素完全相同， ② 元素的排列順序也相同 2．排列數(shù)的定義： 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m （ mn? ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從 n 個(gè)元素中取出 m 元素的排列數(shù)，用符號 mnA 表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同： “一個(gè)排列 ”是指：從 n 個(gè)不 同元素中，任取 m 個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù) ”是指從 n 個(gè)不同 元素中，任取 m（ mn? ） 個(gè)元素 的所有排列的 個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號 mnA 只表示排列數(shù)，而 不表示具體的排列。 【例 2】（ 1）若 17 16 15 5 4mnA ? ? ? ? ? ?，則 n? ， m? ． （ 2）若 ,nN? 則 ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 6 8 ) ( 6 9 )n n n n? ? ? ?用排列數(shù)符號表示為 ． 解：（ 1） n? 17， m? 14 ． （ 2）若 ,nN? 則 ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 6 8 ) ( 6 9 )n n n n? ? ? ?＝ 1569nA? ． 【例 3】（ 1）從 2,3,5,7,11 這五個(gè)數(shù)字中，任取 2 個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？（ 2） 5 人站成一排照相，共有多少種不同的站法？（ 3）某年全國足球甲級（ A 組）聯(lián)賽共有 14 隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場分別比賽 1 次，共進(jìn)行多少場比賽？ 解：（ 1） 25 5 4 20A ? ? ? ；（ 2） 55 5 4 3 2 1 1 2 0A ? ? ? ? ? ?；（ 3） 214 14 13 18 2A ??? 【例 4】計(jì) 算： ① 66248 108! AAA??； ② 11( 1)!( )!nm mA m n?? ??． 解： ① 原式 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 18 7 1 0 9 8 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = 5 7 6 5 4 3 2 5 1 3 05 6 ( 8 9 ) 6 2 3?