【正文】 同類型單元的組合。在本章中論述的很多技術(shù)都與減少自由度有關(guān)，我們的目IDEAS軟件在 CAE中的應(yīng)用 (文獻(xiàn)翻譯 ) 11 標(biāo)是：（ 1）采用盡可能低維的單元使自由度數(shù)最小來建立有限元模型；（ 2）必須在不降低結(jié)果精度的前提下盡可能地使用粗網(wǎng)格，只在重要區(qū)域使用精細(xì)網(wǎng)格。因此，提出了通過對節(jié)點(diǎn)重新編號使帶寬最小的方法，大多數(shù)有限元包都按照了一個(gè)或多個(gè)這樣的工具。靜態(tài)分析所需 CPU 時(shí)間可以使用下面簡單的關(guān)系粗略估計(jì)（稱為線性代數(shù)系統(tǒng)的復(fù)雜性）： 式中 ndof 是有限元方程組中自由度總數(shù)， α是在 到 范圍內(nèi)的常數(shù)，決定于有限元軟件包中使用的不同求解器和剛度矩陣的結(jié)構(gòu)等。因此，本章的主要目的是進(jìn)一步幫助讀者了解黑箱子，以使讀者在使用商業(yè)軟件包建立有限元模型時(shí)避免不必要的錯(cuò)誤。隨著計(jì)算機(jī)硬件和軟件的發(fā)展，現(xiàn)在可以很容易地進(jìn)行有限元分析。 概況地說，本章簡要的介紹了計(jì)算機(jī)模擬與仿真的步驟，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，在有限元法中作為一種工具的計(jì)算機(jī)的使用已經(jīng)變成不可缺少的了。本節(jié)的所有例題都給出了各種后處理結(jié)果。場變量可以用等勢線、條紋線、邊框線和變形線在物體中畫出。 可視化 求解系統(tǒng)方程 后得到的結(jié)果通常是大量的數(shù)據(jù)，因此，這些結(jié)果必須直觀地顯示出來以便進(jìn)行解釋、分析和報(bào)告說明。這些方法的收斂性通常取決于所求解的問題，在采用迭代法時(shí)，預(yù)處理對于加速收斂過程起了很重要的作用。直接法是對于整個(gè)組裝系統(tǒng)方程進(jìn)行求解，因而需要較大的存儲空間，也可以用這樣一種方法編輯程序，即只對包含當(dāng)前 階段所求解的方程的單元進(jìn)行組裝，這樣可以大大地減少對存儲空間的要求。由于所要模擬的物理現(xiàn)象不同，不同的軟件包所用的算法也不相同。工程實(shí)踐表明：對固體和結(jié)構(gòu)前兩種方法用的最多，而對流體流動(dòng)模擬常常使用 其他兩種方法；而且，對于流體流動(dòng)和熱傳導(dǎo)問題，也利用有限元法研制商業(yè)軟件，對固體和結(jié)構(gòu)也能用有限差分法，在這里我們不作詳細(xì)論述，順便指出所有者三種方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是加權(quán)殘值法，在加權(quán)殘值法中，適當(dāng)選擇權(quán)函數(shù)就可以導(dǎo)出有限元發(fā)、有限差分法和有限體積法的方程。同樣，準(zhǔn)確模擬這些條件在實(shí)際工程系統(tǒng)中需要豐富的經(jīng)驗(yàn)、知識和正確的工程判斷力。例如，對于固體和結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力分析，需要定義楊氏模量和剪切彈性模量，而對于熱分析就需要定義熱傳導(dǎo)系數(shù)，材料性質(zhì)常數(shù)通?？梢灾苯虞斎肭疤幚砥髦校治稣咝枰龅氖擎I入這些材料性質(zhì)數(shù)據(jù)并指定數(shù)據(jù)適用于幾何物體中的哪個(gè)區(qū)域或哪些單元。三角形單元的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是模擬復(fù)雜幾何形狀及復(fù)雜邊界的靈活性，缺點(diǎn)就是三角形單元模擬結(jié)果的精度通常低于四邊形單元，但四邊形單元更難自動(dòng)生成。網(wǎng)格生成的目的在于將問題區(qū)域劃分成合適形狀的單元，如三角形單元和四邊形單元，在劃分網(wǎng)格時(shí)必須形成單元連接信息，作為以后組建有限元方程時(shí)使用。這樣，所有單元的解就構(gòu)成了所求問題的整個(gè)區(qū)域的解。 IDEAS軟件在 CAE中的應(yīng)用 (文獻(xiàn)翻譯 ) 5 網(wǎng)格劃分 網(wǎng)格劃分就是將幾何形狀離散成稱之為單元或網(wǎng)格的小塊。 在對物理問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)豐富的知識和經(jīng)驗(yàn)是重要的。通常，軟件模擬包可以直接讀入這些文件，這樣在生成模型的幾何形狀時(shí)就可以大大節(jié)省時(shí)間。點(diǎn)可以通過簡單的鍵入坐標(biāo)的方式生成，連接點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)可以生成直線和曲線，連接、旋轉(zhuǎn)、平移已經(jīng)生成了的直線或曲線可以生成面，實(shí)體可以通過連接、旋轉(zhuǎn)、平移已經(jīng)存在的面來生成。由于受到計(jì)算機(jī)硬件和軟件的限制，控制單元數(shù)量是很有必要的。 使用有限元法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬通常由下列四個(gè)步驟所組成： ?建模 ?劃分網(wǎng)格 ?給定材料性質(zhì) ?給定邊界條件、初始條件和載荷情況 IDEAS軟件在 CAE中的應(yīng)用 (文獻(xiàn)翻譯 ) 4 幾何形狀的模擬 真實(shí)的結(jié)構(gòu)、構(gòu)件或區(qū)域一般都是很復(fù)雜的， 所以必須抽象出易于處理的幾何模型。下節(jié)介紹使用有限元法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬所包括的主要步驟。 IDEAS軟件在 CAE中的應(yīng)用 (文獻(xiàn)翻譯 ) 2 工程中的物理問提 在一個(gè)特點(diǎn)的工程系統(tǒng)中，存在許多物理問題，正如前面所提到的，盡量有限元法最初是應(yīng)用于應(yīng)力分析，但是很多其他物理問題也能采用有限元法求解。這樣一來，未知量就轉(zhuǎn)變成為場變量 在節(jié)點(diǎn)上的離散值。在這些分析中，分析人員的主要目的是決定某些場變量的分布情況，如應(yīng)力分析中的位移，熱分析中的溫度和熱流密度，電分析中的電荷等等。 本文主要討論的是模擬和仿真問題，即圖 中下劃線部分。在建立這些先進(jìn)工程系統(tǒng)時(shí)，工程師和設(shè)計(jì)師經(jīng)過一系列復(fù)雜工序：建模、仿真、可視化、分析、設(shè)計(jì)、制造樣機(jī)、測試，直到最后加工制造。為確保最后產(chǎn)品的易加工性及較低的造價(jià)，在產(chǎn)品或系統(tǒng)制造之前需要做大量工作，其過程如圖 的所示。我們將論述這個(gè)問題的計(jì)算方面，也如圖 中下劃線的部分，重點(diǎn)是物理、數(shù)學(xué)、和計(jì)算機(jī)建模的技術(shù)，以及計(jì)算機(jī)仿真的許多方面的問題。有限元法是一種數(shù)值解法，尋求對某些很難獲得解析結(jié)果的問題的場變量分布的近似解。然后，按照適當(dāng)?shù)脑斫卧匠?，最后將這些單元方程組裝在一起，就可以導(dǎo)出整個(gè)系統(tǒng)的聯(lián)立線性代數(shù)方程組，求解整個(gè)方程組就能很容易地得到所要求解的場變量。對工程 系統(tǒng)中很多物理現(xiàn)象人們已經(jīng)建立了相應(yīng)的有限元法的數(shù)學(xué)模型。 使用有限元法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬 一個(gè)系統(tǒng)中某個(gè)現(xiàn)象的行為取決于該系統(tǒng)的幾 何形狀或區(qū)域范圍、材料或介質(zhì)的性質(zhì)、邊界、初始條件和加載情況。幾何形狀的曲線（面）部分可以使用曲線或曲面模擬，然而，必須注意幾何模型最終要由單元集合所表示，所以，如果使用線性單元，曲線或曲面是用分片的直線或平面來近似。因此，為了決定所采用的最優(yōu)單位數(shù)量，通常采用折中的方法，人們 只在對于精度要求很高的區(qū)域，才對幾何形狀的細(xì)節(jié)進(jìn)行精細(xì)模擬。點(diǎn)、線、面、體都可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、或反射來生成新的點(diǎn)、線、面、體。然后，在很多情況下，從 CAD 文件中直接讀入的復(fù)雜物體在劃分網(wǎng)格或離散之前可能還需要進(jìn)行一些修改和簡化，值得提及的是，有些 CAD 軟件包已將模擬軟件合并在一起。例如，一個(gè)具有三維幾何尺寸的板，在力學(xué)中的板的理論中，板是表示為二維物體（其原因?qū)⒃诘诙略敿?xì)介紹）。為什么要離散呢？我們可以用非常簡明且合理的方式來解釋其原因。 我們應(yīng)該進(jìn)行哪些工作呢？首先，在需要離散的區(qū)域內(nèi)離散控制微分方程時(shí)需要適當(dāng)?shù)睦碚撘?據(jù)，不同問題所依據(jù)的理論也有所不同，本文對于各種問題的理論將在后面章節(jié)中詳細(xì)討論。如果能有完全自動(dòng)的網(wǎng)格生成器是最理想的，但是當(dāng)前在市場上還得不到這種網(wǎng)格生成器。圖 給出了一些有限元網(wǎng)格的例子。然而，獲得這些材料性質(zhì)并不是那么容易的事，盡管有些商業(yè)軟件存在可供選擇的材料數(shù)據(jù)庫，但要精確確定系統(tǒng)所使用的材料性質(zhì)通常需要進(jìn)行試驗(yàn)，不過這不屬于本文范圍，在本文中我們認(rèn)為材料性質(zhì)是已知的。邊界、初始條件和加載情況對于各種問題是不同的，并將在后續(xù)各章中詳細(xì)介紹。 本文首先根據(jù)能力原理推導(dǎo)出固體力學(xué)與結(jié)構(gòu)的有限元方程。求解系統(tǒng)方程選擇算法有兩個(gè)重要的考慮：一是存儲量的需求，另一個(gè)就是 CPU(中央處理器 )運(yùn)算時(shí)間。 間接法包括高斯 雅克比方法、高斯 賽代爾方法、 SOR 方法、廣義共軛數(shù)法、線松弛法等等。 對于非線性問題，還需要進(jìn)行另一層迭代循環(huán)，在迭代時(shí)，必須將非線性方程適當(dāng)?shù)暮喕癁榫€性方程?？梢暬梢酝ㄟ^包含在軟件包里的所謂的后處理器來完成，很多這類處理器允許用戶用彩色的方式在顯 示器上顯示出三維物體。通常，用戶還可以生成變量的等勢面或變量矢量場，也可以使用增強(qiáng)顯示效果的工具，如劃陰影線、光照和褶皺。 現(xiàn)在還有一些高級的視圖工具，如虛擬實(shí)體，這些高級工具能提供更接近真實(shí)的三維形式顯示物體和結(jié)果。在隨后的章節(jié)中，我們將討論當(dāng)進(jìn)行有限元分析時(shí)在計(jì)算機(jī)中到底進(jìn)行一些什么樣的運(yùn)行。因此，對于沒有有限元分析的背景知識和分析人員來說，在實(shí)際設(shè)計(jì)項(xiàng)目時(shí)使用有限元軟件包就像是操作“黑箱子”。 學(xué)習(xí)這些模擬技術(shù) 的另一個(gè)原因是為了提高有限元結(jié)果的計(jì)算效率及精度，一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的分析者能夠用盡可能少的時(shí)間模擬和盡可能少地使用計(jì)算機(jī)資源的情況下得到精確的結(jié)果，有限元分析的效率是由花費(fèi)與精度的比值來衡量的，如圖 所示。 影響α的重要因素之一是剛度矩陣的帶寬，如圖 所示。用戶需要做的是對問題域劃分網(wǎng)格后利用這些工具使帶寬最小，這個(gè)簡單的操作有時(shí)會大大的減少 CPU 時(shí)間。 幾何模擬 實(shí)際的結(jié)構(gòu)通常是很復(fù)雜的，分析者需要決定在哪些可能的地方以及怎樣將一個(gè)復(fù)雜的幾何形狀簡化成可操作的模型。分析者首先應(yīng)該分析問題，仔細(xì)審視問題域的幾何形狀，對于滿足一維或二維單元假定的結(jié)構(gòu)區(qū)域或部分嘗試使用一維和二維單元。因此，使用二維和一維單元的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是大大地簡化了所需創(chuàng)建的結(jié)構(gòu)的幾何形狀。 在建立問題區(qū)域時(shí)對結(jié)果的要求是另一個(gè)重要因素，例如，在估計(jì)結(jié)果非常重要的區(qū)域，分析者通過會對幾何形狀進(jìn)行精細(xì)模擬。 劃分網(wǎng)格 網(wǎng)格密度 為了使自由度數(shù)最少，我們常創(chuàng)建變密度的網(wǎng)格，只有在重要的區(qū)域細(xì)分網(wǎng)格，如我們感興趣的區(qū)域，可能出現(xiàn)應(yīng)力集中的區(qū)域，如凹角，孔，鍵槽，凹口，裂紋等。種子網(wǎng)格點(diǎn)要在幾何模型創(chuàng)建后網(wǎng)格劃分前生成，用戶需要做的是在重要區(qū)域放置較密的種子網(wǎng)格點(diǎn)。對于凹入單元，單元外面的區(qū)域（見圖 所示的陰影區(qū)域）將會變成自然坐標(biāo)系中的內(nèi)部區(qū)域。這是因?yàn)橹虚g節(jié)點(diǎn)的過度偏移會導(dǎo)致單元應(yīng)力場的奇異性，正如 節(jié)所討論的。 all the analyst needs to do is key in the data on material properties and specify either to which region of the geometry or which elements the data applies. However, obtaining these properties is not always easy. There are mercially available material databases to choose from, but experiments are usually required to accurately determine the property of materials to be used in the system. This, however, is outside the scope of this book, and here we assume that the material property is known. Boundary, Initial and Loading Conditions Boundary, initial and loading conditions play a decisive role in solving the simulation. Inputting these conditions is usually done easily using mercial preprocessors, and it is often interfaced with graphics. Users can specify these conditions either to the geometrical identities (points, lines or curves, surfaces, and solids) or to the elements or grids. Again, to accurately simulate these conditions for actual engineering systems requires experience, knowledge and proper engineering judgments. The boundary, initial and loading conditions are different from problem to problem, and will be covered in detail in subsequent chapters. IDEAS軟件在 CAE中的應(yīng)用 (文獻(xiàn)翻譯 ) 23 SIMULATION Discrete System Equations Based on the mesh generated, a set of discrete simultaneous system equations can be formulated using existing approaches. There are a few types of approach for establishing the simultaneous equations. The first is based on energy principles, such as Hamilton’s principle (Chapter 3), the minimum potential energy principle, and so on. The traditional Finite IDEAS軟件在 CAE中的應(yīng)用 (文獻(xiàn)翻譯 ) 24 Element Method (FEM) is established on these principles. The second approach is the weighted residual method, which is also o