【正文】 a h Fu ax bt aha h a h? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? (213) Benjamin Ono 方程的精確解 第二 章 Benjamin Ono 方程的精確解 12 將 表一中 適合條件 )0( 4 ?h 的 廣義 Rccati方程的 精確 解 jF 代 入到 (213)式中 可求得(11)的三十一 個精確解： ).0,0(,12 )(1212 )4()( 444 24444 242 ??????? ??? ????? ahbtaxha Fhaha baAu i 如： .)( )(12 )4()( 22)(12222)(12224422421 ???? ????? ???? bebb bebaAha bhaAu ????? .)4( )(1612 )4()( 2)2(222142)(222124422423 ????? ?????????? ebah ebaAha bhaAu .)( )((12 )4()( 2)2(20202)2(202024422425 ????? ????? ????? ebbb ebbaAha bhaAu .)2)(( )2)((12 )4()( 200)(011020200)(01102024422426 baebabab baebabaaAha bhaAu ?? ????? ??????????? .)4( 1612 )4()( 2)(204)(212120244224211 ????? ?????? eaheb baAha bhaAu .)4( )(1612 )4()( 2214)2(222)(2221244224221 aheb ebaAha bhaAu ???? ????? .)16( )(2 5 612 )4()( 2224)4(242)2(2422244224237 aheb ebaAha bhaAu ???? ????? .)( )(12 )4()( 22341)2(342)(43244224249 babaeab eaAha bhaAu ????? ????? .)(c os h12 )4()( 24 244 22423 ???? h Aha bhaAu ???? .)(t a n h12 )4()( 2222024422425 ????? baAha bhaAu ???? .)2(t a nh12 )4()( 2022024422426 baAhabhaAu ???? ???? .))2s i nh()2c os h()c os h()( s i nh( ))2s i nh()2c os h()c os h()( s i nh(12 )4()( 221221244224215 ???? ??????? ??? ??????? b aAha bhaAu 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 13 .)(s inh12 )4()( 24 244 224221 ???? h Aha bhaAu ???? .))2s i n h ()23s i n h (()2(s i n h12)4()(2220244224222 ????????????aAhabhaAu ).2(t a n h12 )4()( 22222244224227 ???? b aAha bhaAu ???? .)2(s inh412 )4()( 24 244 224237 ???? h Aha bhaAu ???? .))c os h()( s i nh (12 )4()( 224 23244 224249 ????? ????? b aAha bhaAu 若 令 , 21 ikbika ?? 其中 1i??， 12,kk為非零實數(shù)，則 可將上述孤立波解分別化 為如下的三角函數(shù)周期解 ： 422 1 2 2 23 421 4 4 1 2( 4 )( ) .12 c os ( )A k h k Au k h h k x k t?? ? ??? ?? ? .)(t a n12 )4()( 222122024412224125 ? ?????? b tkxkaAhk khkAu ??? .)2(t a n12 )4()( 202122024412224126 btkxkaAhkkhkAu ????????? .)(s i n12 )4()(2124244122241221 tkxkh Ahk khkAu ?????? ??? .))2s i n ()2 )(3s i n (()2s i n (12)4()(221212120244122241222 tkxktkxktkxkaAhkkhkAu?????????? ??? .))(2(t a n12 )4()( 2221222244122241227 b tkxkaAhk khkAu ?????? ??? .))(2(s i n 412 )4()(2124244122241237 tkxkh Ahk khkAu ?????? ??? 第二 章 Benjamin Ono 方程的精確解 14 .))c o s ()s i n ((12 )4()( 221212423244122241249 tkxktkxkib aAhk khkAu ???????? ???利 用 Maple 軟件將幾個典型波形圖繪制如下 : 圖 (a)孤立尖波 圖 (b)光滑的孤立波 圖 (c)緊孤波 圖 (d)孤立波 圖 (e)周期波 圖 (f)周期波 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 15 圖 (g)周期爆破波 圖 (h)周期波 圖 (i)周期爆破波 對上述波形圖進行分析： 圖 (a)孤 立 尖 波解 1 2 2 4 2 1 2( ) : 3 , 6 , 4 , 6 , 6 , 1 , 8 , 1 ,u A a b h h a b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 , 9 9。 Generalized Riccati equation。廣義 Riccati 方程 。Exp 函數(shù)方法 。 EXPfunction method。 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 目 錄 第一章 引言 ......................................................... 1 第二章 Benjamin Ono 方程 的精確解 .................................... 2 FEXP 函數(shù)法的基本思想 ..................................... 2 廣義 Riccati 方程的精確解 .................................... 2 Benjamin Ono 方程的求解及對解的變換和分析 .................. 10 Benjamin Ono 方程的一般解 ............................. 10 Benjamin Ono 方程的精確解 ............................ 11 第三章 結(jié)論 ........................................................ 16 參考文獻 ........................................................... 17 致謝 ............................................................... 19 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 1 第一 章 引言 隨著計算機代數(shù)理論的發(fā)展 ,許多復(fù)雜的代數(shù)計算可通過計算機來完成， 非線 性數(shù)學(xué)物理方程精確解的構(gòu)造 成為了科學(xué)家的主要研究對象 .由于對非線性微分方程沒有統(tǒng)一的求解方法 ,因此近年來一些特殊的方法相繼被提出 .利用計算機代數(shù)理論開發(fā)的符 號計算軟件如 Mathematica 和 Maple 等被廣泛應(yīng)用 , 在非線性發(fā)展方程方面， 為了 求其精確解， 研究人員 對力學(xué)及物理學(xué)中的一些重要方程進行了系統(tǒng)深入的研究 . 在文獻 [1]中，戴世強研究了具有自由面的 上部為 淺層的大深度 分層 流體 中的代數(shù)孤立波，考察其垂向結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的本征值問題，給出了二維 Benjamin Ono 方程 的一個解析解，并根據(jù)色散關(guān)系作了物理解釋 . 在文獻 [2]中， 張領(lǐng)海 用 LeraySchauder不動點定理與積分先驗估計 ,研究一類帶奇異積分微分項的 Benjamin Ono 方程 的Cauchy 問題 ,證明了該問題整體弱解的 存在性 . 在文獻 [3]中， 韓效宵 ,郝海龍 通過引入新的函數(shù)空間和采用一些特殊的技巧，對高階 Benjamin Ono 方程 在 ??x 時解的漸近行為做了比較深入細致的研究 . 在文獻 [4]中 ， 張鴻慶 ,張玉鋒 利用屠格式求出了Benjamin 方程 的 Bcklund 變換、精確孤波解、非線性疊加公式及其無窮守恒律 .在文獻 [5]中， jianpingWeng 研究了下列 (1+1)維 Benjamin Ono 方程 .0)( 2 ??? x x x xxxtt uuu ?? (11) 并 使用其次平衡思想 [6]和規(guī)則地混合指數(shù)函數(shù) [7]構(gòu)建試探解，從而獲得 方程 (11)的一些解析解 .本文將 F展開法 [810]和 EXP函數(shù)方法 [1113]相結(jié)合 (簡稱 FEXP方法 [14])，再次研究方程 (11)，獲得了許多的新的精確解 . 第二 章 Benjamin Ono 方程的精確解 2 第二章 Benjamin Ono 方程 的精確解 FEXP 函數(shù)法的 基本思想 FEXP 方法是 F展開法 與 EXP函數(shù) 方法的 有機 結(jié)合 .即 :對于給定的一個非線性偏微分方程 0),(