【正文】 OF，即 OF等于小圓的半徑．于是可得出證法． 證明： 連接 OE，過(guò) O 作 OF⊥ CD，垂足為 F． ∵ AB 與小圓切于點(diǎn) E， ∴ OE⊥ AB． ∵ AB=CD， ∴ OE=OF． 也就是圓心 O 到 CD 的距離等于小圓的半徑． ∴ CD 與小圓相切． 4．△ ABC 內(nèi)接于⊙ O， D 為 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ DCB=∠ A，求證： CD 是⊙O 的切線 . 思路點(diǎn)撥： 要證 CD 是⊙ O 切線，且已知公共點(diǎn) C，所以連接 OC，用判定定理，只需OC⊥ CD，即證：∠ OCB+∠ DCB=90176。 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 撰稿：莊永春 審稿：邵劍英 責(zé)編：張楊 一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．理解并掌握設(shè)⊙ O的半徑為 r，點(diǎn) P到圓心的距離 OP=d，則有：點(diǎn) P在圓外 d＞ r；點(diǎn) P在圓上 d=r；點(diǎn) P在圓內(nèi) d＜ r及其運(yùn)用．理解不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓并掌握它的運(yùn)用．了解 三角形的外接圓和三角形外心的概念．了解反證法的證明思想． 2．了解直線和圓的位置關(guān)系的有關(guān)概念．理解設(shè)⊙ O的半徑為 r， 直線 到圓心 O的距離為 d，則有：直線 和⊙ O相交 d＜ r；直線 和⊙ O相切 d=r；直線 和⊙ O相離 d＞ r．理解切線的判定定理；理 解切線的性質(zhì)定理并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題． 3．了解切線長(zhǎng)的概念．理解切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，熟練掌握它的 應(yīng)用． 4．了解兩個(gè)圓相離 (外離、內(nèi)含 )，兩個(gè)圓相切 (外切、內(nèi)切 )，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩 圓的 位置關(guān)系與 d、 r r2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題． 重點(diǎn) 1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的結(jié)論，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓及它們的運(yùn)用． 2．切線的判定定理；切線的性質(zhì)定理及運(yùn)用它們解決一些具體的題目． 3．切線長(zhǎng)定理及其運(yùn)用． 4．兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用． 難點(diǎn) 1．反證法的證明思路． 2．由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系遷移并運(yùn)動(dòng)直線導(dǎo)出直線和圓的位置關(guān)系的三個(gè)對(duì)應(yīng)等價(jià)． 3．切線長(zhǎng)定理的導(dǎo)出及其證明和運(yùn)用切線長(zhǎng)定理解決一些實(shí)際問(wèn)題． 4．探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題． 二、知識(shí)要點(diǎn)透析 知識(shí)點(diǎn)一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；即點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系 .設(shè)⊙ O的半徑為 r，點(diǎn) P到圓心的距離為 d，則有 知識(shí)點(diǎn)二、圓的確定 已知圓心和半徑可以確定圓，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小 . 1．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 . 2．經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓 .經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三 角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形 . 要點(diǎn) 詮釋： (1) 由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知：平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)已知兩點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的 垂直平分線 (如圖 ) (2) 過(guò)同一條直線上的三點(diǎn)不能作圓；過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，所以任意三角形有且只 有一個(gè)外接圓 .三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 .由于三角 形的形狀不同，所以其外心的位置也不相同，即銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外 心在斜邊中點(diǎn)上；鈍角三角形的外心在三角形外部 .因?yàn)閳A是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)形成的閉合曲線，所以在 圓上任取三個(gè)點(diǎn)，順次連結(jié)就可形成一個(gè)圓內(nèi)接三角形，所以圓有無(wú)數(shù) 個(gè)內(nèi)接三角形 . 3．用反證法證明命題的一般步驟為： (1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2) 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 . 知識(shí)點(diǎn)三、直線和圓的位置關(guān)系 1．直線和圓的三種位置關(guān)系： (1) 相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線． (2) 相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做 切點(diǎn)． (3) 相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離． 2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)． 直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過(guò)一些條件來(lái)進(jìn)行分析判斷呢？ 由于圓心確 定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn) (圓心 )的位置關(guān)系．下面圖 (1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖 (2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖 (3)中直線與圓心的距離大于半徑． 如果⊙ O的半徑為 r，圓心 O到直線 的距離為 d，那么 這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的 判定． 知識(shí)點(diǎn)四、切線的判定定理和性質(zhì)定理 1．切線的判定定理： 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 . 要點(diǎn)詮釋： 切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交 點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可 . 2．切線的性質(zhì)定理： 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑 . 知識(shí)點(diǎn)五、切線長(zhǎng)定理 1．切線長(zhǎng)： 經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng) . 要點(diǎn)詮釋： 切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱 .切線是直線，而非線段 . 2．切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 . 要點(diǎn)詮釋： 切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等 . 知識(shí)點(diǎn)六、三角形的內(nèi)切圓 1．三角形的內(nèi)切圓： 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 . 2．三角形的內(nèi)心： 三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心 . 要點(diǎn)詮釋： (1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形； (2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一 半，即 (S為三角形的面積， P為三角形的周長(zhǎng)， r為內(nèi)切圓的半徑 ). (3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別： 名稱 確定方法 圖形 性質(zhì) 外心 (三角形外接圓的圓心 ) 三角形三邊中垂線的交點(diǎn) (1)OA=OB=OC； (2)外心不一定在三角形內(nèi)部 內(nèi)心 (三角形內(nèi)切圓的圓心 ) 三角形三條角平分線的交點(diǎn) (1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、 OB、 OC分別平分∠BAC、∠ ABC、∠ ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部 . 知識(shí)點(diǎn)七、圓和圓的位置關(guān)系 1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義 兩圓外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離 . 兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做 這兩個(gè)圓外切 .這個(gè)唯 一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) . 兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交 . 兩圓內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做 這兩個(gè)圓內(nèi)切 .這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) . 兩圓內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含 . 要點(diǎn)詮釋： (1) 圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分 類，又可以分為：相離 (含外離、內(nèi)含 )、相切 (含內(nèi)切、外切 )、相交； (2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)； (3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩 圓重合 . 2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系： 設(shè)⊙ O1的半徑為 r1，⊙ O2半徑為 r2， 兩圓心 O1O2的距離為 d，則： 兩圓外離 d＞ r1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r1r2＜ d＜ r1+r2 (r1≥ r2) 兩圓內(nèi)切 d=r1r2 (r1＞ r2) 兩圓內(nèi)含 d＜ r1r2 (r1＞ r2) 注意： (1)這種數(shù)量關(guān)系既是性質(zhì)又是判定； (2)注意判定兩圓相交時(shí)必須具備 r1r2＜ d＜ r1+r2，缺一不可； (3)d=0時(shí)，兩圓是同心圓； (4)判定兩圓位置關(guān)系的方法有二，定義或 d與 r r2的關(guān)系 . 3．兩圓相切的性質(zhì) 思考：相切兩圓的連心線與兩圓的切點(diǎn) 有何關(guān)系？ 因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過(guò)圓心的直線，而對(duì)于兩個(gè)圓來(lái)說(shuō)，連心線是它們公共的對(duì)稱軸，因此兩圓組成的圖形關(guān)于連心線對(duì)稱，于是得到： 相切兩圓性質(zhì)：若兩圓相切，則切點(diǎn)一定在連心線上 . 要點(diǎn)詮釋： (1)區(qū)別“連心線” (形 —— 直線 )與“圓心距” (數(shù)量 )； (2)也可以認(rèn)為是：相切兩圓的圓心、切點(diǎn)在同一直線上； (3)常作連心線輔助線 . 三、規(guī)律方法指導(dǎo) 對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)注意下面幾個(gè)問(wèn)題： 1．首先要掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的得出過(guò)程，結(jié)合相應(yīng)圖形得出各位置關(guān)系下的 d與 r(R與 r)之間的關(guān)系； 2．理解好切線的性質(zhì)及判定，總結(jié)出判定切線常添加的輔助線： (1)過(guò)圓心作切線的垂線； (2)作出過(guò) 切點(diǎn)的半徑； 3．明確“反證法”與一般證明方法的不同之外，掌握好用反證法證明問(wèn)題的一般步驟； 4．每個(gè)知識(shí)點(diǎn)只有在真正理解的基礎(chǔ)上才能夠掌握并靈活應(yīng)用 . 經(jīng)典例題透析 類型一：判斷直線和圓的位置關(guān)系 1．在 Rt△ ABC中，∠ C=90176。 . 方法一：要證直角可利用直徑所對(duì)圓周角是直角 . 證明： 作直徑 CE，連接 BE，則∠ CBE=90176。 ∴ OC⊥ CD，即 CD 是⊙ O 切線 . 舉一反三： 【變式 1】如圖，△ ABC中， AB=AC，以 AB 為直徑的⊙ O 交 BC于 D， DE⊥ AC 于 E，求證： DE 是⊙ O 的切線 . 思路點(diǎn)撥： 要證 DE是⊙ O切線，且已知公共點(diǎn) D，所以連接 OD，只需證 OD⊥ DE 即可，又已知 DE⊥ AE，所以需證： OD∥ AC. 方法一： 證明： 連接 OD