【正文】 OF，即 OF等于小圓的半徑．于是可得出證法． 證明： 連接 OE，過 O 作 OF⊥ CD，垂足為 F． ∵ AB 與小圓切于點 E， ∴ OE⊥ AB． ∵ AB=CD， ∴ OE=OF． 也就是圓心 O 到 CD 的距離等于小圓的半徑． ∴ CD 與小圓相切． 4．△ ABC 內(nèi)接于⊙ O， D 為 AB 延長線上一點，且∠ DCB=∠ A，求證： CD 是⊙O 的切線 . 思路點撥： 要證 CD 是⊙ O 切線，且已知公共點 C，所以連接 OC，用判定定理，只需OC⊥ CD，即證：∠ OCB+∠ DCB=90176。 與圓有關的位置關系 撰稿：莊永春 審稿：邵劍英 責編：張楊 一、目標認知 學習目標 1．理解并掌握設⊙ O的半徑為 r，點 P到圓心的距離 OP=d，則有：點 P在圓外 d＞ r；點 P在圓上 d=r；點 P在圓內(nèi) d＜ r及其運用．理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用．了解 三角形的外接圓和三角形外心的概念．了解反證法的證明思想． 2．了解直線和圓的位置關系的有關概念．理解設⊙ O的半徑為 r， 直線 到圓心 O的距離為 d，則有：直線 和⊙ O相交 d＜ r；直線 和⊙ O相切 d=r；直線 和⊙ O相離 d＞ r．理解切線的判定定理；理 解切線的性質(zhì)定理并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實際問題． 3．了解切線長的概念．理解切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，熟練掌握它的 應用． 4．了解兩個圓相離 (外離、內(nèi)含 )，兩個圓相切 (外切、內(nèi)切 )，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩 圓的 位置關系與 d、 r r2等量關系的等價條件并靈活應用它們解題． 重點 1．點和圓的位置關系的結(jié)論，不在同一直線上的三個點確定一個圓及它們的運用． 2．切線的判定定理；切線的性質(zhì)定理及運用它們解決一些具體的題目． 3．切線長定理及其運用． 4．兩個圓的五種位置關系中的等價條件及它們的運用． 難點 1．反證法的證明思路． 2．由點和圓的位置關系遷移并運動直線導出直線和圓的位置關系的三個對應等價． 3．切線長定理的導出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題． 4．探索兩個圓之間的五種關系的等價條件及應用它們解題． 二、知識要點透析 知識點一、點和圓的位置關系 由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；即點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道數(shù)量關系也可以確定位置關系 .設⊙ O的半徑為 r，點 P到圓心的距離為 d，則有 知識點二、圓的確定 已知圓心和半徑可以確定圓，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小 . 1．不在同一直線上的三個點確定一個圓 . 2．經(jīng)過三角形三個頂點可以作一個圓 .經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三 角形三條垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形 . 要點 詮釋： (1) 由線段的垂直平分線的性質(zhì)可知：平面內(nèi)，經(jīng)過已知兩點的圓的圓心的軌跡是連結(jié)這兩點的線段的 垂直平分線 (如圖 ) (2) 過同一條直線上的三點不能作圓；過不在同一直線上的三個點確定一個圓，所以任意三角形有且只 有一個外接圓 .三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點，到三角形三個頂點的距離相等 .由于三角 形的形狀不同，所以其外心的位置也不相同，即銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外 心在斜邊中點上；鈍角三角形的外心在三角形外部 .因為圓是由無數(shù)個點形成的閉合曲線，所以在 圓上任取三個點，順次連結(jié)就可形成一個圓內(nèi)接三角形，所以圓有無數(shù) 個內(nèi)接三角形 . 3．用反證法證明命題的一般步驟為： (1) 假設命題的結(jié)論不成立； (2) 從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 . 知識點三、直線和圓的位置關系 1．直線和圓的三種位置關系： (1) 相交：直線與圓有兩個公共點時 ，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線． (2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做 切點． (3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離． 2．直線與圓的位置關系的判定和性質(zhì)． 直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？ 由于圓心確 定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點 (圓心 )的位置關系．下面圖 (1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖 (2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖 (3)中直線與圓心的距離大于半徑． 如果⊙ O的半徑為 r，圓心 O到直線 的距離為 d，那么 這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系的 判定． 知識點四、切線的判定定理和性質(zhì)定理 1．切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 . 要點詮釋： 切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交 點的半徑垂直，缺一不可 . 2．切線的性質(zhì)定理： 圓的切線垂直于過切點的半徑 . 知識點五、切線長定理 1．切線長： 經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長 . 要點詮釋： 切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱 .切線是直線，而非線段 . 2．切線長定理： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角 . 要點詮釋： 切線長定理包含兩個結(jié)論：線段相等和角相等 . 知識點六、三角形的內(nèi)切圓 1．三角形的內(nèi)切圓： 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 . 2．三角形的內(nèi)心： 三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心 . 要點詮釋： (1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形； (2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一 半，即 (S為三角形的面積， P為三角形的周長， r為內(nèi)切圓的半徑 ). (3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別： 名稱 確定方法 圖形 性質(zhì) 外心 (三角形外接圓的圓心 ) 三角形三邊中垂線的交點 (1)OA=OB=OC； (2)外心不一定在三角形內(nèi)部 內(nèi)心 (三角形內(nèi)切圓的圓心 ) 三角形三條角平分線的交點 (1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、 OB、 OC分別平分∠BAC、∠ ABC、∠ ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部 . 知識點七、圓和圓的位置關系 1．圓與圓的五種位置關系的定義 兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離 . 兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做 這兩個圓外切 .這個唯 一的公共點叫做切點 . 兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交 . 兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做 這兩個圓內(nèi)切 .這個唯一的公共點叫做切點 . 兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含 . 要點詮釋： (1) 圓與圓的位置關系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數(shù)分 類，又可以分為：相離 (含外離、內(nèi)含 )、相切 (含內(nèi)切、外切 )、相交； (2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點； (3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩 圓重合 . 2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關系： 設⊙ O1的半徑為 r1，⊙ O2半徑為 r2， 兩圓心 O1O2的距離為 d，則： 兩圓外離 d＞ r1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r1r2＜ d＜ r1+r2 (r1≥ r2) 兩圓內(nèi)切 d=r1r2 (r1＞ r2) 兩圓內(nèi)含 d＜ r1r2 (r1＞ r2) 注意： (1)這種數(shù)量關系既是性質(zhì)又是判定； (2)注意判定兩圓相交時必須具備 r1r2＜ d＜ r1+r2，缺一不可； (3)d=0時，兩圓是同心圓； (4)判定兩圓位置關系的方法有二，定義或 d與 r r2的關系 . 3．兩圓相切的性質(zhì) 思考：相切兩圓的連心線與兩圓的切點 有何關系？ 因為圓是軸對稱圖形，對稱軸是過圓心的直線，而對于兩個圓來說，連心線是它們公共的對稱軸，因此兩圓組成的圖形關于連心線對稱，于是得到： 相切兩圓性質(zhì)：若兩圓相切，則切點一定在連心線上 . 要點詮釋： (1)區(qū)別“連心線” (形 —— 直線 )與“圓心距” (數(shù)量 )； (2)也可以認為是：相切兩圓的圓心、切點在同一直線上； (3)常作連心線輔助線 . 三、規(guī)律方法指導 對于本節(jié)的學習，應注意下面幾個問題： 1．首先要掌握點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系的得出過程，結(jié)合相應圖形得出各位置關系下的 d與 r(R與 r)之間的關系； 2．理解好切線的性質(zhì)及判定，總結(jié)出判定切線常添加的輔助線： (1)過圓心作切線的垂線； (2)作出過 切點的半徑； 3．明確“反證法”與一般證明方法的不同之外，掌握好用反證法證明問題的一般步驟； 4．每個知識點只有在真正理解的基礎上才能夠掌握并靈活應用 . 經(jīng)典例題透析 類型一：判斷直線和圓的位置關系 1．在 Rt△ ABC中，∠ C=90176。 . 方法一：要證直角可利用直徑所對圓周角是直角 . 證明： 作直徑 CE，連接 BE，則∠ CBE=90176。 ∴ OC⊥ CD，即 CD 是⊙ O 切線 . 舉一反三： 【變式 1】如圖，△ ABC中， AB=AC，以 AB 為直徑的⊙ O 交 BC于 D， DE⊥ AC 于 E，求證： DE 是⊙ O 的切線 . 思路點撥： 要證 DE是⊙ O切線，且已知公共點 D，所以連接 OD，只需證 OD⊥ DE 即可，又已知 DE⊥ AE，所以需證： OD∥ AC. 方法一： 證明： 連接 OD