【正文】 月信息與通信工程系 郎文杰 電氣工程及其自動(dòng)化 基于 小波 變換的圖像去噪 方法 的 研究 摘要 圖像是人類傳遞信息的主要媒介。它通過伸縮、平移等運(yùn)算功能對信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析 ,能有效地從信號(hào)中提取信息。詳細(xì)介紹了小波系數(shù)相關(guān)性去噪方法的原理和算法 。傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)去噪方法在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用 ,而且取得了較好的效果。該方法利用小波閾值去噪基本原理 ,在基于最小均方誤差算法 LMS 和 Stein 無偏估計(jì)的前提下 ,引出了一個(gè)具有多階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的閾值函數(shù) ,利用其對閾值進(jìn)行迭代運(yùn)算 ,得到最優(yōu)閾值 ,從而得到更好的圖像去噪效果。 Threshold。早期人們?yōu)榱苏鎸?shí)反映自然景物和人物的原貌，對拍攝到的黑 白照片進(jìn)行手工上色，這就是最原始的圖像處理技術(shù)。噪聲 [1]可以理解為“妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息理解的因素”。除了視覺質(zhì)量上下降外，噪聲還可能掩蓋一些重要的圖像細(xì)節(jié)，使圖像的熵增大，從而對于圖像數(shù)據(jù)的有效壓縮起到了一定的妨礙作用。 圖像去噪可以在空間域內(nèi)進(jìn)行，也可以在變換域內(nèi)進(jìn)行。為了進(jìn)一步提高去噪的效果，在變換域中進(jìn)行降噪處理成為有效的方法，圖像變換域去噪就是對圖像進(jìn)行某一種變換，然后將圖像從時(shí)域變換到變換域中，再對變換域中的圖像變換系數(shù)按照某種方法進(jìn)行處理，最后再對處理后的系數(shù)按照某種方法進(jìn)行反變換，這樣就實(shí)現(xiàn)了將圖像去除圖像噪聲的目的。小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域、頻域都具有較強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力，因此基于小波分析的圖像去噪技術(shù)已成為圖像去噪的一個(gè)重要方法。因此要有效降低圖像中的噪聲，必須針對不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿意的去噪效果。 實(shí)際生活中還有多種多樣的圖像噪聲，如皮革上的疤痕噪聲、氣象云圖上的條紋噪聲等等。 圖像去噪效果的評價(jià) 在圖像去噪的處理中，常常需要評價(jià)去噪后圖像的質(zhì)量。因此主觀評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還只是一個(gè)定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的視覺特性。 主觀評價(jià) 主觀評價(jià)通常有兩種 [2]：一種是作為觀察者的主觀評價(jià)，這是由選定的一組人對圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對所觀察 的圖像的質(zhì)量好或壞的評價(jià)，再綜合全組人的意見給出一個(gè)綜合結(jié)論。 表 圖像主觀評價(jià)尺度評分表 效果得分 質(zhì)量尺度 妨礙尺度 5 非常好 絲毫看不出圖像 質(zhì)量變壞 4 好 能看出圖像質(zhì)量變壞，不妨礙觀看 3 一般 能清楚地看出圖像質(zhì)量變壞，對觀看稍有妨礙 2 差 對觀看有妨礙 1 非常差 非常嚴(yán)重地妨礙觀看 注： 這些都 是由觀察者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn) 來 對被評價(jià)圖像做出質(zhì)量判斷。圖像質(zhì)量的客觀評價(jià)由于著眼點(diǎn)不同而有多種方法，這里介紹的是 一種經(jīng)常使用的所謂的逼真度測量。 （ 1） 均方誤差 MSE ： ? ??? ?? ?? nj jijinin fxfM S E 1 2,112 ? （ ） （ 2）信噪比 SNR ： ?????????? MSEijfSNR 2lg10 ?? （ ） 其中 jif,? 表示重建恢復(fù)后圖像像素的灰度值， jif, 表示原始圖像各點(diǎn)的灰度值； 2ijf?? 表示重建恢復(fù)后圖像灰度值的方差。 PSNR 單位為 dB。上個(gè)世紀(jì)八十年代 Mallet 提出了 MRA(Multi_Resolution Analysis)，并首先把小波理論運(yùn)用于信號(hào)和圖像的分解與重構(gòu)，利用小波變換模極大值原理進(jìn)行信號(hào)的奇異性檢測，提出了交替投影算法用于信號(hào)重構(gòu)，為小波變換用于圖像處理奠定了基礎(chǔ) [4]。 1995 年， Stanford 大學(xué)的學(xué)者 和 提出了通過對小波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理來降低信號(hào)中的噪聲 [5]。 總之，由于小波具有低墑性、多分辨率、去相關(guān)性、選基靈活性等特點(diǎn)，小波理論在去噪領(lǐng)域受到了許 多學(xué)者的重視，并獲得了良好的效果。但小波分析的應(yīng)用潛力仍然很大，仍舊存在著一些需要解決問題。然后，介紹全文的結(jié)構(gòu)安排和本文所取得的研究成果。 第四章 介紹 了小波去噪的發(fā)展歷程和小波去噪的分類 ，在此基礎(chǔ)上對傳統(tǒng)的小波去噪技術(shù)進(jìn)行了一定的改進(jìn)，提出 基 于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法 ，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，并對 小波變換的圖像去噪有關(guān)問題 進(jìn)行了 分析 ，提出在去噪過程中應(yīng)注意的一些事項(xiàng)。傅立葉變換將時(shí)、頻兩域截然分開是以信號(hào)的的頻率特性時(shí)不變和統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)為前提條件的。窗口傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是信號(hào)分析窗口面積和形狀均固定的時(shí)頻局部化分析，一定程度上克服了傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間 — 頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號(hào)的分析中起到了很好的作用。在信號(hào)低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí) (空 )間分辨率，在信號(hào)的高頻部分具有較低的頻率分辨率和較高的時(shí) (空 )間分辨率，所以小波分析主要特點(diǎn)是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征，被譽(yù)為數(shù)學(xué)上的顯微鏡。 20 世紀(jì) 30 年代， Littlewood 和 Paley 對 Fourier 級數(shù)建立了二進(jìn)制頻率分量分組理論（ LP 理論），即最早的多尺度分析思想。 1974 年， Calfmann 對 Hardy 空間 pH 給出了原子分解。隨后， Grossman對 Morlet 的方法進(jìn)行了研究。 Mallat 算法的提出標(biāo)志著小波理論獲得突 破性進(jìn)展，從此，小波分析從理論研究走向了應(yīng)用研究。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)??t? 為一 平方可積函數(shù)，即 ?? ? ?RLt 2?? ，若其傅立葉變換 ??w?? 滿足： ? ? ?? ? ?dwC R ww 2?? （ ） 時(shí)，則稱 ??t? 為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。,21, ??? ?? aRbaat atba ??? （ ） 并稱 ??tba,? 為參數(shù) a 和 b 小波基函數(shù)。 圖 小波基函數(shù)的相平面 （ 2）連續(xù)小波變換 將 ??RL2 空間的任 意函數(shù) ??tf 在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù) ??tf 的連續(xù)小波變換 CWT，變換式為： ? ? ? ? ? ?dttffbaWT a btRabaf ?????? ? ?? 1, （ ） 當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí)，其逆變換為： ? ? ? ? ? ??? ???? ????? ?? dbbaWTtf a btfadaC ?? ,21 （ ） 其中 ? ? ?? ? ?dwCR ww 2??為 ??t? 的容許性條件。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： ① 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。 ⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔 redundancy〕，小波 變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： 1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊 支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降特性，以便獲得空間局域化。對于變量超過一個(gè)的函數(shù)來說，這個(gè)變換的維數(shù)也將增加。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因子a 和連續(xù)平移因子 b 的，而不是針對時(shí)間 t 的。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。 小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。則可以對信號(hào)進(jìn)行不同尺度下的分解。由離散小波框架可得到子空間的以下特性： 121122110 WWWWVWWVWVV NNN ?????????? ? ? （ ） 這一結(jié)果表明：分辨率為 20=1 的多分辨率分析子空間 0V 可以用有限個(gè)子空間來逼近。設(shè)0H 和 1H 分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對原始信號(hào) x(n)（其正半軸歸一頻帶在 ??0 之間）的多分辨分解可表示為如圖 所示的樹形分解。這是因?yàn)榍耙患壍妮敵鼋?jīng)過了降采樣，而濾波器的設(shè)計(jì)是根據(jù)歸一頻率進(jìn)行的。如果直接采用若干個(gè)帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號(hào) x(n)分解到多個(gè)不同的頻帶 )2/( ?? ? 、)2/4/( ?? ? 、 )48/( ?? ? 、?，因各個(gè)濾波器均不相同，因此其設(shè)計(jì)和計(jì)算量都較大，而且，隨著分解級數(shù)的增 加計(jì)算量將成比例增加。 上述信號(hào)經(jīng)過分解后也可得以重建，其重建過程是分解過程的逆過程：每一支路先進(jìn)行升采樣（即在輸入序列的每兩個(gè)相鄰樣本間補(bǔ)一個(gè)零，使數(shù)據(jù)長度增加一倍），從而恢復(fù)降采樣前序列的長度；其次作相應(yīng)的低通或高通濾波；然后再對相應(yīng)級上濾波后的兩支路進(jìn)行求和。 H1 H0 2 2 H1 H0 2 2 H1 H0 2 2 x(n) V0 V1 )2/0( ?? V2 )4/0( ?? )2/4/(1 ?? ?W )4/8/(1 ?? ?W V3 )8/0( ?? )2/(1 ?? ?W 設(shè) ??ZjjV ?是 )(2RL 的一個(gè)多分辨率分析，則可以證明，張量空間 ? ?ZjjV ?2：jjj VVV ??2 構(gòu)成 )*(2 RRL 的一個(gè)多分辨率分析，并且二維多分辨率分析 ? ?ZjjV ?2 的二維尺度 函數(shù) ),( yx? 為 )()(),( yxyx ??? ? () 式中： )(x? 是 ??ZjjV ?尺度函數(shù) (一維 )。 如果 )(x? 是一維 多分辨率分析 ??ZjjV ?的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個(gè)小波函數(shù)為： )()(),()()(),()()(),(321yxyxyxyxyxyx???????????? （ ） 對于每一個(gè) Zj? ，它們的整數(shù)平移系為： )()(),()()(),()()(),(,3,2,1yxyxyxyxyxyxmjnjmnjmjnjmnjmjnjmnj???????????? （ ） 注意這里的上標(biāo)只是索引而不是指數(shù)。 具體來說，函數(shù)系 }2,2(2{)},({ , mynxyx jjjmnj ??? ?? ?? ， 3,2,1,0 ?? ?j 是 )*(2 RRL 的正交歸一基，其中均為整數(shù)， ? =1,2,3 分別對應(yīng)于水平、 垂直和對角三個(gè)方向?？梢钥吹剑诿恳环纸鈱由?，圖像均被分解為 LL, LH, HL 和 HH的四個(gè)頻帶；下一層的分解僅對低頻分量 LL 進(jìn)行分解。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波變換。 我們知道，在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的 FIR 濾波器，那么對稱和精確重建是不可能同時(shí)滿足的（ Haar 小波除外）。 盡管用正交濾波器實(shí)現(xiàn)的正交小波變換得到了廣泛的引用，并在圖像處理（如fAj 1? fDj 11? fDj 12? fDj 13? 12? 21? H G X fAj 12? 12? 12? G H ? ? 21? H G ? 與濾波器 X 卷積 H 低通濾波器 G 高通濾波器 12? 21? 在相鄰兩列間插入一列零 在相鄰兩行間插入一行零 fAj 1? 圖像降噪、圖像邊緣檢測、圖像紋理分析、圖像壓縮編碼等）中取得了良好的效果；同時(shí)正交濾波器組也有許多優(yōu)點(diǎn)，例如分解的正交性、實(shí)現(xiàn)簡單 —— 分解和重構(gòu)濾波器相同等；但是由于 用于 正交小波變換的正交濾波器不具有線性相位特性，其產(chǎn)生的相位失真將會(huì)引起圖像中邊緣的失真。 ? 和 ?? 彼此對偶且相互正交（雙正交）。雙正交小波對正交作出了“讓步”，以求得對稱性和緊支性，并且使用 FIR 濾波器可以進(jìn)行精確重構(gòu)。自產(chǎn)生以來，就一直與傅里葉分析密切相關(guān)。 （ 2）傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有 ? ?wtsin ， ? ?wtcos 或 ? ?iwtexp ，具有唯一性；小波分析用到的小波函數(shù)則不是唯一的，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。因此，小波變換在對瞬態(tài)信號(hào)分析中擁有更大的優(yōu)勢。因此，小波變換也可以看成是信號(hào)局部奇異性分析的有效工具。 本章小結(jié) 本 章主要介紹了小波變換、圖像小波變換及其與傅立葉變換的關(guān)系等的基本原理，著重介紹了圖像和信號(hào)的多分辨率分析，因?yàn)樗菍π盘?hào)和圖像進(jìn)行分析的關(guān)鍵，也是本文后續(xù)章節(jié)研究的理論基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的圖像去噪是在空域?qū)崿F(xiàn)的。 空域?yàn)V波 （ 1） 均值濾波 對一些圖像進(jìn)行線性濾波可以去除圖像中某些類型的噪聲，如采用鄰域平均法的局部均值濾波器就非 常適合用于去除掃描圖像中的顆粒噪聲。即用下式得到處理后的圖像： ? ? ? ?? ???? wjiM yxfyxg ,1 ,