全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案-wenkub
2023-07-09 20:20:08 本頁(yè)面
【正文】 ，使得． 所以，． 下面證明當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組． 同理可設(shè)在第一組，在第二組． 此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時(shí)；如果8在第二組，我們?nèi)?，此時(shí)．綜上，滿足題設(shè)條件．所以，的最小值為．（注：也可以通過(guò)考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．）第 15 頁(yè) 共15頁(yè)。；當(dāng)時(shí)，凸n邊形最多有12個(gè)內(nèi)角等于150176。內(nèi)角的外角都等于30176。13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是自然數(shù)）. 因?yàn)? (a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分）（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素?cái)?shù))，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m≥89. 此時(shí)，a≥=2025.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，a的最小值為2025. （2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?012，所以，從而得a的最小值為2017（素?cái)?shù)）。12（甲）. 如圖，⊙O的直徑為，過(guò)點(diǎn)，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)．為⊙O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：△BOC∽△．12（乙）．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心. 求證：（1）OI是△IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD.13（甲）. 已知整數(shù)a，b滿足：a－b是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)2012時(shí)，求a的最小值.13（乙）．給定一個(gè)正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說(shuō)明理由．14（甲）. 求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）．將，…，（n≥2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù) （可以相同），使得，求的最小值．參考解答 一、選擇題1(甲) .C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 ． 1（乙）．B解：．2（甲）．D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）．B解：由題設(shè)x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共計(jì)9對(duì).3（甲）．D 解：由題設(shè)
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