【正文】 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=，P（）=，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=，P（|）=，故由貝葉斯公式知（1） %(2) %.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，∶，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A={原發(fā)信息是A}，則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A}，則={收到信息是B}由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球為白球，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai={箱中原有i個白球}（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,={抽出一球為白球}.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品}由貝葉斯公式得 29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，,；如果“謹(jǐn)慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A={該客戶是“謹(jǐn)慎的”}，B={該客戶是“一般的”}，C={該客戶是“冒失的”}，D={該客戶在一年內(nèi)出了事故}則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、,，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. 31.，?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨立射擊.即為 故 n≥11至少必須進(jìn)行11次獨立射擊.32.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，,，若只有一人擊中，；若有兩人擊中，；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設(shè)A={飛機被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(++)+(++)+=35.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機開始時有6位乘客，：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；②4人同時離開，有種可能結(jié)果；③4個人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故37. n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段[0，a]任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,0xa,0ya,0axya所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39. 某人有n把鑰匙，（抽樣是無放回的）.證明試開k次（k=1,2,…,n）才能把門打開的概率與k無關(guān).【證】 ，在這些小立方體中，隨機地取出一個，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設(shè)Ai={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3. 在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，（除去八個角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有128=，原立方體的六個面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有886=（8+96+384）=512個內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為,.，B，C，試證P（AB）+P（AC）P（BC）≤P(A).【證】 42.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】 設(shè)={杯中球的最大個數(shù)為i},i=1,2,3.將3個球隨機放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每個杯中最多放一球，故而杯中球的最大個數(shù)為3，即三個球全放入一個杯中，故因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對稱性知P（A）=P（B）（1） 當(dāng)n為奇數(shù)時，正、（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正≤乙正）=（n+1甲反≤n乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反乙反）由對稱性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，則P（A）≥P(B).【證】由P（A|C）≥P(B|C),得即有 同理由 得 故 ，有k(k≥n).【解】 設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則其中i1,i2,…,in1是1，2，…，n中的任n1個.顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε：不論ε0如何小，只要不斷地獨立地重復(fù)做此試驗，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗中，A至少出現(xiàn)一次的概率為，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，？【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國徽}B={這只硬幣為正品}由題知 則由貝葉斯公式知 （Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，？第一次用完一盒火柴時（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以BB2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2nr次，設(shè)n次取自B1盒（已空），nr次取自B2盒，第2nr+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。 (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x0時，當(dāng)x≥0時， 故 ，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時F（x）=0當(dāng)x≥100時 故 ［0，a］上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)x0時F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時當(dāng)xa時，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)[2，5]，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為（以分鐘計），以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1） 若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2X≤5}，P{4X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}。（2）=，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 X2 1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/30{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 ~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1） 當(dāng)y≤0時，當(dāng)y0時， 故 (2)當(dāng)y≤1時當(dāng)y1時