【正文】 始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第六章（2008年11月20日），如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h．(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定狀況．(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，．解：設(shè)時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性：　　　由，得 ．即 ，(1)的解為：①當(dāng)，(1)無實(shí)根，此時無平衡點(diǎn)；②當(dāng)，(1)有兩個相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即．不穩(wěn)定；③當(dāng)，時，得到兩個平衡點(diǎn)：， 易知： ， ， ，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，平衡點(diǎn)穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點(diǎn)不穩(wěn)定．．要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于．：．其中r和N的意義與Logistic模型相同．設(shè)漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為．討論漁場魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場魚量水平．解：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 ① 令，得 ，．平衡點(diǎn)為 . 又，． 平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 0 ②最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度．從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時漁場魚量水平．3．設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).1．求漁場魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性。（2）. 167。1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,……相除，其商數(shù)如下表： 1 2 3 4 5ABC235 …333 111 …432 216 144 108 將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，？如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結(jié)果為： 方法二（Q值方法）9個席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第10個席位：計(jì)算Q值為 最大， 方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配結(jié)果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對所有的盡量接近. 再考慮的分配方案，：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計(jì) 10 10 1015 15 152． 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過時間的數(shù)學(xué)模型.解： 設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時，.考慮到時間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日） 15．速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為:[P]=, []=,[]=,[]=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得　， ， 其中是無量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=[]=LM0T1，[]=L3MT0，[]=MLT2（LT1L1）1L2=MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(3 ,1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， []=LM0T1，[]=L3MT0，[]=MLT2（LT1L1）1L2=MLL2T2T=L1MT1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨(dú)立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). ，即在單擺運(yùn)動中考慮阻力，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨(dú)立的無量綱量∴, , ∴ ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為,；,。2．試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,求此時漁場魚量水平.解：1．變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 （1） ， （1）的解為：① 當(dāng)時，（1）無實(shí)根，此時無平衡點(diǎn)； ② 當(dāng)時，（1）有兩個相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； ③ 當(dāng)時，得到兩個平衡點(diǎn)： ， 易知 ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定 ，平衡點(diǎn)穩(wěn)定. 2．最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量,且盡量接近,但不能等于. 《數(shù)學(xué)模型》第七章作業(yè)（2008年12月4日）1． ：（1）因?yàn)橐粋€時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價(jià)格，所以第時段的價(jià)格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，.2．已知某商品在時段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，并討論穩(wěn)定平衡條件.3． 已知某商品在時段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，并討論穩(wěn)定平衡條件.《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第七章（2008年12月4日）2． ：（1）因?yàn)橐粋€時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價(jià)格，所以第時段的價(jià)格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，.（2）若除了由和決定之外，.解：（1）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為： 在點(diǎn)附近用直線來近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 特征根為當(dāng)時，則有特征根在單位圓外，設(shè)，則 即平衡穩(wěn)定的條件為與的結(jié)果一致.（2）此時需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在處附近的直線近似表達(dá)式分別為： 由（5）得， 將（4）代入（6），得 對應(yīng)齊次方程的特征方程為代數(shù)方程（7）無正實(shí)根，且不是（7）（7）的三個非零根分別為，則對（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式：其中求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件.2．已知某商品在時段的數(shù)量和價(jià)格分別為和，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點(diǎn)，在點(diǎn)附近可以用直線來近似