【正文】 同的特征值C任一方陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的2. 設(shè)A，B都是N階方陣，則下列命題中正確的是（A）?A. (A + I) (AI) = A39。1 239。中央廣播電視大學(xué) 20112012 學(xué)年度第二學(xué)期“開放本科”期末考試（半開卷）工程數(shù)學(xué)（本） 試題2012 年 7 月得分｜評卷人一、單項選擇題｛每小題 3 分，共 15 分） 1. 設(shè) A,B 均為 n 階可逆矩陣，則下列等式成立的是（A．A、B. CA+B) 1=A 1+B IC. CAB ） 一 l=A IB ID. IA一 1+B 1l=IA 1l+IB I2. 矩陣 A 適合條件（D時，它的秩為 r.A. A 中任何 r+l 列線性相關(guān)B. A 中任何 r 列線性相關(guān)c. A 中有 r 列線性相關(guān)D. A 中線性無關(guān)的列有且最多達(dá) r 列 3. 設(shè) A= ，那么A 的特征值是（B）A. 1,1 B. 4,6c. 1,5 D. 5 ,54. 設(shè) X 的分布列為則 PX2)= (D)A. 0. 1 B. 0. 2C, o. 3 D. 0. 45. 對給定的正態(tài)總體 的一個樣本， 未知，求 μ 的置信區(qū)間，選 用的樣本函數(shù)服從（C）A. X2 分布c. t 分布B. 正態(tài)分布D. 指數(shù)分布 得分｜評卷人二、填空題（每小題 3 分，共 15 分）1 26. 設(shè)矩陣 A= ,I 為單位矩陣，則 （ IA)39。A．0，2 B．0，6C．0，0 D．2，64．若隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量 ( D )．5． 對正態(tài)總體方差的檢驗用( C )．二、填空題(每小題3分，共15分)6． 設(shè)均為二階可逆矩陣，則　　　?。? 28． 設(shè) A， B 為兩個事件，若,則稱A與B　相互獨立　　　?。?．若隨機(jī)變量，則　　1/3 　?。?0．若都是的無偏估計，且滿足　，則稱比更有效。 (已知，)14. 某切割機(jī)在正常工作時，切割的每段金屬棒長服從正態(tài)分布。A．無解 B．有惟一非零解C．只有零解 D．有無窮多解4．對任意兩個事件 A，B，等式( D )成立．A． B． C． D．5． 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則 ( B ) 是統(tǒng)計量．A． B． C． D．二、填空題(每小題3分，共15分)1． 設(shè)A,B是3階方陣，其中則　12．2． 設(shè)A為n階方陣，若存在數(shù)和非零n維向量，使得，則稱為A的　特征值______。4. 某鋼廠生產(chǎn)了一批管材，每根標(biāo)準(zhǔn)直徑100mm，今對這批管材進(jìn)行檢驗，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=，已知管材直徑服從正態(tài)分布，問這批管材的質(zhì)量是否合格？（檢驗顯著性水平）四、證明題（本題6分）設(shè)A是可逆的對稱矩陣，試證：也是對稱矩陣。13. 設(shè)隨機(jī)變量,試求(1)；（2）使成立的常數(shù)。A． B．A不是行滿秩矩陣C． D．4． 袋中有3個紅球，2個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是 ( D )．A． B． C． D． 5． 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則 ( C )是無偏估計．A． B．C． D．二、填空題(每小題3分，共15分)1． 設(shè)均為3階方陣，且　　18　　　　?。?．設(shè)為階方陣，若存在數(shù)和非零維向量，使得 _，則稱為的特征值．3．設(shè)隨機(jī)變量，則　?。?．設(shè)為隨機(jī)變量，已知，此時　27?。?．設(shè)是未知參數(shù)的一個無偏估計量，則有.?。?、計算題(每小題16分，共64分)1． 設(shè)矩陣，且有，求．1．解：利用初等行變換得2．求線性方程組的全部解。A． B．C． D．的行向量組線性無關(guān)4． 若條件 ( C )成立，則隨機(jī)事件互為對立事件．A． B． C． D． 5． 對來自正態(tài)總體的一組樣本，記，則下列各式中 ( C )不是統(tǒng)計量．A． B．C． D．二、填空題(每小題3分，共15分)6． 設(shè)均為3階方陣，且　　　8　　　　．7．設(shè)為階方陣，若存在數(shù)和非零維向量，使得　　　，則稱為相應(yīng)于特征值的特征向量．8．若，則　　　　?。?．如果隨機(jī)變量的期望且，那么　　20 　?。?0．不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為　__統(tǒng)計量____　　　．三、計算題(每小題16分，共32分)11． 設(shè)矩陣，求．11．解：利用初等行變換得12．當(dāng)取何值時，線性方程組有解，在有解的情況下求出此方程組的一般解．12．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形四、計算分析題（每小題16分，共32分）13. 設(shè),試求（1）；（2）。174。當(dāng)時，方程組有解?！　　　　　?0. 設(shè),是同階對稱矩陣，試證：也是對稱矩陣． 證明：因 故可知是對稱矩陣．證畢． 11. 可逆的對稱矩陣的逆矩陣也是對稱矩陣． 證明：設(shè)可逆，且 則，所以也是對稱矩陣．證畢． 12. 設(shè)是線性無關(guān)的，證明, 也線性無關(guān).證明： 設(shè)有一組數(shù)，使得 成立，即，由已知線性無關(guān)，故有該方程組只有零解，得，故是線性無關(guān)的．證畢．13. 設(shè),是兩個隨機(jī)事件，試證：． 證明：由事件的關(guān)系可知而，故由加法公式和乘法公式可知　　　　　 證畢．　　　 14. 已知隨機(jī)事件,滿足，試證：． 證明：已知，由事件的關(guān)系可知而，故由概率的性質(zhì)可知即　　　　 證畢．　　　　　　　　　　　　　15. 設(shè)隨機(jī)事件,滿足，試證：． 證明： 由可知，因此得，故由因為，故有 證畢?！　　　?3．某車間生產(chǎn)滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布．今從一批產(chǎn)品里隨機(jī)取出9個，若已知這批滾珠直徑的方差為，．解：由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　　　　已知，經(jīng)計算得　 　　　　　　　，又由已知條件，故此置信區(qū)間為　　　24．某切割機(jī)在正常工作時，切割的每段金屬棒長服從正態(tài)分布， cm，測得的結(jié)果如下：（單位：cm），問：該機(jī)工作是否正常(, )？解：，故選取樣本函數(shù)～　　　 經(jīng)計算得， 由已知條件，且 故接受零假設(shè)，即該機(jī)工作正常.　25. 已知某種零件重量，采用新技術(shù)后，取了9個樣品，測得重量（單位：kg），已知方差不變，問平均重量是否仍為15（）？ 解： 零假設(shè)．由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　已知，經(jīng)計算得　　　　　，　　　由已知條件，故接受零假設(shè)，即零件平均重量仍為15．　　　　　　　26．某一批零件重量，隨機(jī)抽取4個測得重量（單位：千克）為, , , 可否認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克(已知)解：零假設(shè)．由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　經(jīng)計算得　　　　　　　　　　　　，已知，故接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克.　　　　　　　 四、證明題1．設(shè)是階對稱矩陣，試證：也是對稱矩陣．　　證明：是同階矩陣，由矩陣的運算性質(zhì)可知　　　　　已知是對稱矩陣，故有，即　　　　　由此可知也是對稱矩陣，證畢．　 2．設(shè)是n階矩陣，若= 0，則． 證明：因為 === 所以 3．設(shè)n階矩陣A滿足，則A為可逆矩陣．證明： 因為 ，即 　　　 所以，A為可逆矩陣． 4．設(shè)向量組線性無關(guān)，令，證明向量組線性無關(guān)。當(dāng)時，方程組有解。一、單項選擇題1．設(shè)都是n階方陣，則下列命題正確的是( )． 2．設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是( )．3. 設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（　）．4．設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（ 　）．5．設(shè)A，B是兩事件，則下列等式中（ ，其中A，B互不相容 ）是不正確的．6．設(shè)A是矩陣，是矩陣，且有意義，則是( )矩陣．7．設(shè)是矩陣，是矩陣，則下列運算中有意義的是（）8．設(shè)矩陣的特征值為0，2，則3A的特征值為 ( 0，6 ) ．9. 設(shè)矩陣，則A的對應(yīng)于特征值的一個特征向量=( ) ．10．設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是無偏估計．11．設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則檢驗假設(shè)采用統(tǒng)計量U =（）．12．設(shè)，則（）．13． 設(shè)，則（ ）．14． 設(shè)是來自正態(tài)總體均未知）的樣本，則（ ）是統(tǒng)計量．15．若是對稱矩陣，則等式（）成立．16．若（ ）成立，則元線性方程組有唯一解． 17. 若條件（　且 ）成立，則隨機(jī)事件，互為對立事件．18．若隨機(jī)變量X與Y相互獨立，則方差=（ ?。?9若XX2是線性方程組AX=B的解而是方程組AX = O的解則（）是AX=B的解．20．若隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量（ ）．21．若事件與互斥，則下列等式中正確的是（　 ?。?2. 若，則（3?。?0. 若，（），則．23. 若滿足（?。瑒t與是相互獨立．24. 若隨機(jī)變量的期望和方差分別為和則等式（ ）成立．25. 若線性方程組只有零解，則線性方程組（可能無解）．26. 若元線性方程組有非零解，則（）成立．27. 若隨機(jī)事件,滿足，則結(jié)論（與互不相容 ）成立． 28. 若，則秩（1 ）．29. 若，則（ ）．30．向量組的秩是（ 3 ）．31．向量組的秩是（4）．32. 向量組的一個極大無關(guān)組可取為（）．33. 向量組，則（）．34．對給定的正態(tài)總體的一個樣本，未知，求的置信區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（t分布）． 35．對來自正態(tài)總體（未知）的一個樣本，記，則下列各式中（ ）不是統(tǒng)計量．．36. 對于隨機(jī)事件，下列運算公式（）成立．37. 下列事件運算關(guān)系正確的是（ ）．38．下列命題中不正確的是（ A的特征向量的線性組合仍為A的特征向量）．39. 下列數(shù)組中，（）中的數(shù)組可以作為離散型隨機(jī)變量的概率分布．40. 已知2維向量組，則至多是（　2）．41. 已知，若，則（ ）．42. 已知，若，那么（）．43. 方程組相容的充分必要條件是( )，其中，44. 線性方程組解的情況是（有無窮多解）．45. 元線性方程組有解的充分必要條件是（ ）46．袋中有3個紅球，2個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（ ）47. 隨機(jī)變量，則（）．48．（ ）二、填空題1．設(shè)均為3階方陣，則　　　 8 　　．2．設(shè)均為3階方陣，則　　　18 　?。?. 設(shè)均為3階矩陣，且，則　　　—8　　?。?. 設(shè)是3階矩陣，其中，則　　12　　．5．設(shè)互不相容，且，則　　　0 　?。? 6. 設(shè)均為n階可逆矩陣，逆矩陣分別為，則．7. 設(shè)，為兩個事件，若，則稱與　相互獨立?。?．設(shè)為n階方陣，若存在數(shù)l和非零n維向量，使得，則稱l為的特征值． 9．設(shè)為n階方陣，若存在數(shù)l和非零n維向量，使得，則稱為相應(yīng)于特征值l的特征向量． 10. 設(shè)是三個事件，那么發(fā)生，但至少有一個不發(fā)生的事件表示為.11. 設(shè)為矩陣，為矩陣，當(dāng)為（?。┚仃嚂r，乘積有意義．12. 設(shè)均為n階矩陣，其中可逆，則矩陣方程的解．13．設(shè)隨機(jī)變量，則a =　　　　　． 14．設(shè)隨機(jī)變量X ~ B（n，p），則E（X）= 　 np　　．15. 設(shè)隨機(jī)變量，則　　15　?。?6．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則常數(shù)k =　?。?17. 設(shè)隨機(jī)變量，則?。?8. 設(shè)隨機(jī)變量，則．19. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則．20. 設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，則0．21. 設(shè)隨機(jī)變量，若，則．22．設(shè)為隨機(jī)變量，已知，此時　　27　　?。?3．設(shè)是未知參數(shù)的一個估計，且滿足，則稱為的　　無偏　　 估計．24．設(shè)是未知參數(shù)的一個無偏估計量，則有．25．設(shè)三階矩陣的行列式，則=　　2　　． 26．設(shè)向量可由向量組線性表示，則表示方法唯一的充分必要條件是 線性無關(guān) ． 27