極值理論在風險價值度量中的應用-wenkub
2023-07-08 16:07:36 本頁面
【正文】 對數日收益率進行實證研究給出上證指數的VaR和ES值，及置信區(qū)間。另外，Jondeau and Rockinger（1999），Rootzen and Kluppelberg（1999），Neftci（2000），Gilli and Kellezi（2003）和Christoffersen and Goncalves（2004）也分別采用極值原理和其他模型對金融數據的尾部特征進行了分析和比較。Danielsson and de Vries（1997）以7支美國股票構成的組合為樣本比較各種模型的表現情況，發(fā)現EVT的表現比參數方法和歷史模擬方法明顯的好。歷史模擬是一種最簡單的方法，它利用損失的經驗分布來近似真實分布，但是該方法不能對過去觀察不到的數據進行外推，更不能捕獲金融資產收益序列的波動率聚類現象，而受到大量的批評。極值理論在風險價值度量中的應用引言自20世紀70年代以來，金融市場的波動日益加劇，一些金融危機事件頻繁發(fā)生，如1987年的“黑色周末”和亞洲金融危機，這使金融監(jiān)管機構和廣大的投資者對金融資產價值的暴跌變得尤為敏感。參數方法假設收益符合某種特定的分布如：正態(tài)分布、t分布等，再通過分布與樣本的均值、方差的匹配對參數進行估計，或者是假設收益符合某種特定的過程如：模型、模型，該方法可以在一定程度上解釋尖峰后尾現象和波動率聚類問題，具有比較好的整體擬和效果。Longin（2000）認為極值理論的優(yōu)點在于它的沒有假設特定的模型，而是讓數據自己去選擇，而GARCH模型作為估計風險的一種方法，它只能反映當時的波動率情況，對于沒有預期到的變化缺乏準確性。本章在傳統(tǒng)單純采用極值理論（假設被分析數據是獨立同分布的）描述金融資產收益尾部特征的基礎上，把ARMA－(Asymmetric)GARCH模型和極值理論有機的結合起來。VaR和ES的概念：VaR（Value－at－Risk）是一種被廣泛接受的風險度量工具，2001年的巴塞耳委員會指定VaR模型作為銀行標準的風險度量工具。但是VaR模型只關心超過VaR值的頻率，而不關心超過VaR值的損失分布情況，且在處理損失符合非正態(tài)分布（如后尾現象）及投資組合發(fā)生改變時表現不穩(wěn)定，會出現 （2）的現象，不滿足Artzner（1999）提出了一致性風險度量模型的次可加性。3. ARMA－(Asymmetric)GARCH模型 ARMA－(Asymmetric)GARCH模型的性質模型： （4）其中，是期望為0，方差為常數的獨立同分布隨機變量，模型在可逆的情況下可以表示為。這里我們采用通常使用的最簡單的模型，則條件方差可以表示為：，模型也可以表示成平方誤的形式： （5）其中，因此模型本質上是平方誤的。這樣我們就得到了ARMA－(Asymmetric)GARCH模型 （8）、ARMA－(Asymmetric)GARCH模型的參數估計：我們知道在條件正態(tài)分布的假設下，可以很容易的利用ARMA－(Asymmetric)GARCH模型的似然函數，給出參數向量的估計值，其中。在Skoglund（2001）“A simple efficient GMM estimator of GARCH models”給出了該估計方法的計算過程和收斂情況。另外，我們要進行GMM估計還需要一個對參數的初始估計值和對的三階矩和四階矩的初始估計值，而這一初始值我們可以通過對ARMA－(Asymmetric)GARCH模型殘差符合正態(tài)分布的情況進行最大似然估計得到。兩個模型分別采用極值理論中的兩個不同的定理作為其理論依據，同時也因為獲取極值數據的不同方法導致兩個模型分別采用不同的分布來擬合極值數據。樣本獨立同分布可以保證POT模型的前提條件。一種理想的方法是通過參數的形式把三種極值分布統(tǒng)一的表示成一個分布函數，這樣我們就可以在利用最大似然估計的時候，把該參數也一塊估計出來，讓數據去決定它們的選擇，這將極大的增加模型估計的準去性。然后，我們要對參數進行最大似然估計，這需要得到隨機變量的概率密度函數，通過概率分布函數（12）對求導，我們得到隨機變量的概率密度函數： （13）其中。分布函數被稱作廣義的Pareto分布。如果閥值選取的過高，會導致超額數據量太少，使估計出來的參數方差很大；如果閥值選取的過低，則不能保證超量分布的收斂性，使估計產生大的偏差。另外，如果超限期望圖當時是向上傾斜的，說明數據遵循形狀參數為正的GPD分布，如果超限期望圖當時是向上傾斜的，說明數據來源于尾部較短的分布，如果如果超限期望圖當時是水平的，則說明該數據來源于指數分布。同時，我們得到的觀測值中比閥值大的個數，記為，根據公式（17）用頻率代替的值，可以得到在時的表達式： （16）對于給定某個置信水平，可以由的分布函數公式（15）可以得到： （17）根據GPD的條件分布函數公式（15）可以得到： （18） 序列的和置信區(qū)間的估計方法：通常，對于參數置信區(qū)間的估計方法，在大樣本的情況下我們可以從似然比率檢驗（Likelihood Ratio Test）的思路中獲到。這樣我們就得到了和的聯(lián)合置信區(qū)間，如果我們希望得到的估計值，則可以根據公式（17）反解出帶入公式（13）得到，令,的置信區(qū)間可以通過下式得到：但是，于超過閥值的極值數據量不會很多，使的這一估計的漸進效果可能不佳。該方法在確定置信區(qū)間的同時，也是一種檢驗模型穩(wěn)定性的方法。我們的實證過程分為四步，（1）用ARMA－(Asymmetric)GARCH模型對收益序列進
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