理論力學(xué)第三版[周衍柏]習(xí)題答案-wenkub
2023-07-08 01:28:49 本頁(yè)面
【正文】 ④之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 ⑤由①⑤得 ⑥由②③④得 ⑦代入①，有 ⑧代入⑥，有 ⑨此即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.角頻率所以周期解⑨得以初始時(shí)③為原點(diǎn)，時(shí)，.所以 ⑩代入①得聯(lián)立③④⑧⑩得，選向下為正方向，.，只有重力做功，機(jī)械能守恒： ①②聯(lián)立①②得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的彈力，為最大張力，即 .設(shè)繩的彈性系數(shù)為,則有 ①當(dāng) 脫離下墜前，在拉力作用下上升， ②聯(lián)立①② 得 ③齊次方程通解非齊次方程③的特解所以③的通解代入初始條件：時(shí)，得；故有即為在任一時(shí)刻離上端的距離..運(yùn)動(dòng)的軌跡的切線(xiàn)方向上有: ①法線(xiàn)方向上有： ②對(duì)于①有（為運(yùn)動(dòng)路程，亦即半圓柱周?chē)￠L(zhǎng)）即又因?yàn)?即 ③設(shè)質(zhì)點(diǎn)剛離開(kāi)圓柱面時(shí)速度，離開(kāi)點(diǎn)與豎直方向夾角，對(duì)③式兩邊積分 ④剛離開(kāi)圓柱面時(shí)即 ⑤聯(lián)立④⑤ 得即為剛離開(kāi)圓柱面時(shí)與豎直方向夾角. .橢圓方程 ①?gòu)幕阶畹忘c(diǎn)， ②設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對(duì)它的支持力為則有： ③為點(diǎn)的曲率半徑.的軌跡：得； 又因?yàn)? 所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對(duì)橢圓壓力為方向垂直軌道向下. 解質(zhì)點(diǎn)作平面直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為 ①②由曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力分析，我們可以得到： ③④因?yàn)榍€(xiàn)上每點(diǎn)的曲率 ⑤所以 ⑥ ⑦把⑥⑦代入曲率公式⑤中所以 ⑧由④即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以 ⑨把⑧⑨代入① ，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： ①②③④⑤ ②由數(shù)學(xué)知識(shí)知 ③把①③④代入② ⑤當(dāng)時(shí)，得即當(dāng)，時(shí)，即故有：。 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的和楔子對(duì)斜面的壓力為綜上所述可得解 ，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個(gè)非慣性系里來(lái)分析此題。所以 解 要滿(mǎn)足勢(shì)能的存在，即力場(chǎng)必須是無(wú)旋場(chǎng)，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿(mǎn)足上式關(guān)系，才有勢(shì)能存在。即 ，我們采用的是極坐標(biāo)。對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)為常數(shù)。軌跡方程為在近日點(diǎn)處在遠(yuǎn)日點(diǎn)處由角動(dòng)量守恒有所以 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)速率所以又由于即又因?yàn)樗詢(xún)蛇叿e分即 證（）設(shè)地球軌道半徑為。故近日點(diǎn)有即 ①又因?yàn)樗寓冢ㄥ缧窃趩挝粫r(shí)間內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積）掃過(guò)扇形面積的速度③又因?yàn)楣蕛蛇叿e分④ 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點(diǎn)為地球軌道半徑處。：人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點(diǎn)距離分別為地球半徑有橢圓運(yùn)動(dòng)中的能量方程可知： ①②為衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道的長(zhǎng)軸把代入①②有近地點(diǎn)速率遠(yuǎn)地點(diǎn)速率運(yùn)動(dòng)周期（）其中為運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸所以 證 由行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)的能量方程為為橢圓的半長(zhǎng)軸。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有 解 把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有 ①對(duì)分析；因?yàn)?②在劈上下滑，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。用隔離法。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o(wú)加速度，所以 ⑨于是 ⑩ 解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無(wú)外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒： ① 以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過(guò)程中能量守恒： ②聯(lián)立①②解之，得所以落地時(shí)水平距離之差= 解 。、速度分別為、與軸正向夾角分別為、。設(shè)相同小球?yàn)椋跏紩r(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡(jiǎn)化表達(dá)式)。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，隨即在不可伸長(zhǎng)的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)心系是慣性系，且無(wú)外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。它的速度由變?yōu)?。水平方向上所受合外力F即為摩擦力②單位時(shí)間質(zhì)量的變化③由①②式所以 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問(wèn)題。我們知道處理這類(lèi)問(wèn)題常常理想化模型的幾何形狀。我們對(duì)②式兩邊求導(dǎo)④由于③=④，所以⑤對(duì)⑤式兩邊積分⑥⑦以雨滴下降方向?yàn)檎较?，?duì)①式分析⑧ （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以 證 這是變質(zhì)量問(wèn)題中的減質(zhì)量問(wèn)題，()式①來(lái)分析。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知④代入③可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線(xiàn)性規(guī)律①火箭飛行速度②又因?yàn)槿剂先紵龝r(shí)間③代入②得火箭最大速度=又因?yàn)棰谑接挚梢詫?xiě)成積分可得④從開(kāi)始到燃燒盡這一段時(shí)間內(nèi)火箭上升高度。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。沿過(guò)點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。棒受到重力。 。即： ②由式得： 。由于梯子處于平衡，所以①②且梯子沿過(guò)點(diǎn)平行于軸的合力矩為零。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（）故①且 ②由①②得所以中心慣量主軸：（b），該原子由、三個(gè)原子構(gòu)成。所以=①又由于②③由①②③得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。由對(duì)稱(chēng)性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。所以，將代入上式得： 。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿(mǎn)足微分方程為圓弧相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。以為基點(diǎn)。 ，點(diǎn)為極軸的原點(diǎn)，極軸過(guò)點(diǎn)，所以在桿上任意一點(diǎn)?，F(xiàn)分別作與的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則即為瞬心（）。 。桿從水平位置擺到豎直位置過(guò)程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒。故當(dāng)時(shí)，桿的質(zhì)心下降，代入④式得故時(shí)間內(nèi)桿的轉(zhuǎn)數(shù) ，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理知：①②對(duì)于滑塊。設(shè)軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外?，F(xiàn)在來(lái)求繩子脫落以后飛輪的角加速度。設(shè)球的半徑為，則球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)圓柱：①②③④由①②③④式得設(shè)從到的過(guò)程中，圓柱的速度從變到，角速度從變到，所以 。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無(wú)滑條件：①②③④⑤從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖示位置過(guò)程中，機(jī)械能守恒，即⑥⑦由①～⑦解得 坐標(biāo)系。當(dāng)由變?yōu)?的過(guò)程中，機(jī)械能守恒： ①又因?yàn)榇诉^(guò)程中桿已離開(kāi)墻，所以桿在水平方向受力為零，故質(zhì)心水平方向勻速，即②又點(diǎn)只有水平方向的速度，根據(jù),知當(dāng)桿落地時(shí)，與有如下關(guān)系： ③①得： ④將②③④代入①得： ⑤⑤⑨得 ⑥ ⑦將⑥⑦代入⑤得 。為軸。點(diǎn)時(shí)絕對(duì)速度設(shè)的夾角為，則,故與邊的夾角為，且指向左下方。得由虛功原理 故①因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故②又由 得： ③由②③可得 ，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。由虛功原理：w①又取變分得代入①式得：化簡(jiǎn)得②設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得 自由度，質(zhì)點(diǎn)位置為。：取在廣義坐標(biāo)根據(jù)教材（）和（）式得動(dòng)能：勢(shì)能：根據(jù)定義式故因?yàn)楣实脼榈诙€(gè)第一積分.同理即得為第三個(gè)第一積分., ①根據(jù)定義②得③根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入③式后可求得:④由正則方程得:⑤⑥代入⑤得整理得 , ⑴小球的位置可由確定,故自由度⑵選廣義坐標(biāo),廣義速度.⑶小球動(dòng)能又由①式得設(shè)小球勢(shì)能為V,取固定圓球中心O為零勢(shì)點(diǎn),則小球拉氏函數(shù)=①根據(jù)定義有根據(jù)正則方程④⑤對(duì)式兩邊求時(shí)間導(dǎo)得：故小球球心切向加速度167。周期，體系拉氏函數(shù)①根據(jù)哈密頓原理：故 ②因?yàn)榇擘谑降茫核? ③又因?yàn)?，且和的任意性所以所以運(yùn)動(dòng)微分方程為：常數(shù)
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