函數(shù)的性質(zhì)二-wenkub
2022-11-17 20:12:48 本頁面
【正文】 k?Z． （ 2） － 2≤m＜ 0時 ， ． 當(dāng)－ 2≤m＜ 0時 ， ． 這時 ， ∴ m＝ 0， 取得最大值時， ， k?Z ． （ 3） m＜－ 2 時 ， ． 當(dāng) m＜－ 2 時 ， ． 這時 ， 函數(shù)在 [－ 1， 1] 上遞減 ， ∴ ∴ m2 + 4m－ 4＝ 0 解之 ， , 且 ， 取最大值時， ， k?Z ． 綜上所述，得 k?Z k?Z k?Z x 的值 3 3 y 的最大 值 [ 0， 2 ] (－ ∞,－ 2) m 的取值 例 18 已知 f (x)=x2+ax+b (a， b∈ R)的定義域?yàn)?[－ 1， 1]． (Ⅰ ) 記 | f (x)|的最大值 M， 求證： ； (Ⅱ ) 求出 (Ⅰ )中的 時， f (x)的表達(dá)式． 【 講解 】 已知條件是 x∈ [－ 1， 1] 且 | f (x)|≤M 像這樣在一個區(qū)間上的所有各點(diǎn)都 滿足的性質(zhì) ， 在各特殊點(diǎn)上依然成立 ． 即 | f (1)|＝ |1+a+b|≤M | f (0)|＝ |b|≤M | f (－ 1)|＝ |1－ a+b|≤M 接下來就要考慮由形如 M≥|m|的三個不等式能否構(gòu)造出常數(shù) ？ 或者構(gòu)造出 4M≥2 ？ 這自然想到絕對值不等式的性質(zhì)： | x1|+| x2| + +| xn |≥| x1+ x2+ +xn | 于是 ， 能否巧妙安排 x1, x2, x3, x4使其和為 2 ？ 另一個思路是 , 反證法 , 即若 M＜ , 由三個不等式能否導(dǎo)出矛盾？ (Ⅰ )【 證法 1】 依題意 x∈ [－ 1， 1]時 ， 總有 | f (x) |≤M， 因此有 | f (1) |＝ |1 + a + b| ≤M 2 | f (0)|＝ |2b|＝ |－ 2b|≤2M | f (－ 1) |＝ |1－ a + b|≤M 相加得 |1 + a + b| + |－ 2b| + |1－ a + b|≤4M ∵ |(1 + a + b) +(－ 2b) +(1－ a + b)| ≤|1 + a + b| + |－ 2b| + |1－ a + b| ∴ 2≤4M 即 M≥ (Ⅰ ) 【 證法 2】 設(shè) M＜ ． 依題意 | f(x)| ≤M 在 [－ 1， 1] 上成立 ， 從而有 | f(1)| ≤ M＜ | f (0)| ≤ M＜ ， | f (－ 1)| ≤M＜ 即 ① ② ③ 由 ① + ③ 得 － 1＜ 2 + 2b＜ 1 即 ④ ④ 與 ② 矛盾 ． 故 不能成立 ． 因此 ， ． (Ⅱ ) 解： 由 ， 有 ∴ ⑤ ⑥ ⑦ 同時還有 兩式相加，得 ⑧ 由⑤，⑧知， 把 代入 ⑥，⑦ 得 ∴ a＝ 0 ∴ ， ． 。三 .函數(shù)的周期性 函數(shù)的周期性 如果函數(shù) y＝ f(x)對于定義域內(nèi)任意的 x，存在一個不等于 0的常數(shù) T，使得 f(x＋ T)＝ f(x) 恒成立，則稱函數(shù) f(x)是周期函數(shù)， T是它的一個周期 . 一般情況下，如果 T是函數(shù) f(x)的周期，則kT(k∈N ＋ )也是 f(x)的周期 . 例 1 已知函數(shù) f ( x )， 對任意實(shí)數(shù) x， 有下面四個關(guān)系式成立： （ 1） f ( x ) =－ f (x+a)（ a為非零常數(shù) ） ； （ 2） f ( x ) = f (a－ x)（ a為非零常數(shù) ） ； （ 3） f (a－ x) = f (b－ x)（ a,b為常數(shù)且 a2 + b2≠0） 【 例題講解 】 （ 4） f (a－ x) =－ f (b－ x)(a,b為常
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