新人教版勾股定理知識點(diǎn)和典型例習(xí)題(教師版)-wenkub
2023-07-07 07:06:01 本頁面
【正文】 早在三千多年前,周 朝數(shù)學(xué)家商高就提出了 “ 勾三,股四, 弦五 ” 形式的勾股定理,后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了 直角三角形的三邊關(guān)系為:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 2. 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 ① 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變② 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下:方法一:4EFGH S S S ?+=正方形 正方形 ABCD , 2214( 2ab b a c ?+=,化簡可證.方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積. 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 221422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面積 為 222( 2S a b a a b b =+=++ 所 以 222a b c +=方 法 三 :1( ( 2S a b a b =+?+梯形 , 2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形 ,化簡得證3. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系, 它只適用于直角三角形, 對于銳 角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征, 因而在應(yīng)用勾股定理時, 必須明了所考察 的對象是直角三角形 4. 勾股定理的應(yīng)用 ① 已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊在 ABC ?中, 90C ∠=?,則 c, b, a ② 知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量 關(guān)系③ 可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題 5. 勾股定理的逆定理如果三角形三邊長 a , b , c 滿足 222a b c +=,那么這個三角形是直角三角形,其中 c 為 斜邊 ① 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過 “ 數(shù)轉(zhuǎn) 化為形 ” 來確定三角形的可能形狀,在運(yùn)用這一定理時,可用兩小邊的平方和 22a b +與較長 邊的平方 2c 作比較,若它們相等時,以 a , b , c 為三邊的三角形是直角三角形。若cb H EDCBAbabac abcab a bbaED CBA222a b c +,時, 以 a , b , c 為三邊的三角形是鈍角三角形。 5,12,13。勾股定理的作用:(1已知直角三角形的兩邊求第三邊。(1已知 a=6, c=10,求 b , (2已知 a=40, b=9,求 c 。, a=40, b=9,c=(3 在△ ABC 中,∠ C=90176。且 BC =3 ∴由勾股定理可得 AB 2=AC 2BC 2 =5232 =16 ∴ AB = 4∴ AB 的長是 4.類型二:勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 如圖, 已知:在 中,. 求:BC 的長 . 思路點(diǎn)撥 :由條件 , 想到構(gòu)造含角的直角三角形, 為此作于 D ,則有,再由勾股定理計算出 AD 、 DC 的長,進(jìn)而 求出 BC 的長 . 解析 :作 于 D ,則因,∴(的兩個銳角互余∴ (在 中,如果一個銳角等于 ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 .CB DA根據(jù)勾股定理,在 中, . 根據(jù)勾股定理,在 中, .∴ .舉一反三 【變式 1】如圖,已知:, , 于 P . 求證:. 解析 :連結(jié) BM ,根據(jù)勾股定理,在 中, .而在 中,則根據(jù)勾股定理有 .∴又∵ (已知 ,∴ .在 中,根據(jù)勾股定理有 ,∴ .【變式 2】已知:如圖,∠ B=∠ D=90176。 分析 :如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵,可以連結(jié) AC ,或延長 AB 、 DC 交于 F ,或 延長 AD 、 BC 交于點(diǎn) E ,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種,進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三 種較為簡單。,∴∠ E=30176。BECD 178。(1求 A 、 C 兩點(diǎn)之間的距離。+∠ CBA+∠ ABE=180176。∴∠ DAC=30176。作法 :如圖所示 (1作直角邊為 1(單位長的等腰直角△ ACB ,使 AB 為斜邊。舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示 的點(diǎn)。解析:1. 逆命題:有四只腳的是貓(不正確2. 逆命題:相等的角是對頂角(不正確3. 逆命題:到線段兩端距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上. ? (正確4. 逆命題:到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上. (正確總結(jié)升華:本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備?！?(a32≥ 0, (b42≥ 0,
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