【正文】 分布模型去描述股票收益率，這些研究在很大程度上都促進了金融理論的發(fā)展，并為投資者更好的控制收益風險減少損失提供了一定的理論基礎。 研究背景與意義 研究背景1602年，世界上第一個股票交易所在荷蘭的阿姆斯特丹成立，象征著資產(chǎn)市場的的誕生。后來Einstein從物理、Wiener從數(shù)學的角度都對布朗運動做了更深的研究，都從不同的角度驗證了股票收益率服從正態(tài)分布這一性質。我國之前對證券行為的描述模型中，也認為證券收益率服從正態(tài)分布，但是在后來經(jīng)過許多計量經(jīng)濟學家對大量數(shù)據(jù)進行研究后發(fā)現(xiàn)，我國證券收益率的分布并不服從正態(tài)分布。之前有許多研究都從不同角度對收益率的分布進行了擬合，但究竟服從是什么分布并未給出定論，本文將從一元線性回歸的角度，選擇近幾年滬深指數(shù)去擬合收益率分布，這將對今后收益率分布研究給出很大的參考價值。由于我國資產(chǎn)市場起步晚，股票市場發(fā)展也并不完善，現(xiàn)有理論是否同樣適用于我國股票市場，成為相關研究關注的焦點。本研究在一元線性回歸分析的基礎上提出了一種尖峰厚尾分布，并對滬深股市收益率進行了實證分析，給出了參數(shù)估計的方法，該分布能很好的描述滬深股市收益率的分布特征。這也為本研究的順利經(jīng)行提供了極為便利的條件。股票收益率服從正態(tài)分布這一假設被后來的經(jīng)濟學家們廣泛認可，不僅因為正態(tài)分布有著良好的統(tǒng)計特性和簡單方便的計算，更重要的是在加法下，正態(tài)分布是具有穩(wěn)定性的，即股票的任意相加結合仍然是正態(tài)分布的，這樣就與統(tǒng)計學中的大樣本思想相對應，容易進行樣本計算，所以被人們廣泛認可。如1961年Alexander重新整理分析了Osborne的數(shù)據(jù)，得出了股票收益率確實是具有尖峰、厚尾的基本特征。在混合正態(tài)分布模型提出以后，Praetz等人又提出應該用Scaledt分布來擬合股票收益，后者能更好的反映股票收益率的尖峰、厚尾特性，并且Praetz也從理論上推導了Scaledt分布的合理性。 論文的研究思路與組織結構 研究思路 本文旨在研究股票收益率的尖峰、厚尾特性，在第一章緒論中首先介紹本文的研究背景及意義，敘述了金融資產(chǎn)收益率研究的內容及重要性，接著闡述了國內外關于股票收益率的研究現(xiàn)狀，介紹國外提出的集中經(jīng)典模型以及近年來國內的一些學者的研究成果。第五章為結束語，總結了本文的研究成果并對研究進行展望。2 股票收益率尖峰厚尾性檢驗 股票收益率計算方法 單期收益率假設期末股票的價格為，并且不計算當期的紅利，則從期到期的股票差價可以定義為： （21）設為簡單收益率，定義為： （22）知道簡單收益率之后，就可以定義簡單總收益率為： （23）再對簡單總收益率取自然對數(shù)，得到對數(shù)收益率或者連續(xù)復合收益率： （24）對對數(shù)收益率進行一階泰勒公式展開可以看出，當簡單收益率趨近于零時，對數(shù)收益率可以認為與簡單收益率是近似相等的[7]。比如一個月有30個交易日，若采用簡單收益率計算方法，月總收益率可以通過將30天總的收益率相乘得到；若是采用對數(shù)收益率計算方法，則月對數(shù)收益率可以通過對這30日的對數(shù)收益率相加求和得出。（3） 在上述定義的公式（26）中用到了復利計算，但是這里計算時利率不是一個固定的值，而是將收益率（）這一隨機變量作為利率計算。在直角坐標系中作股票收益率分布直方圖時，橫坐標一般為股票收益率，縱坐標是收益率的概率，可以畫出收益率各值對應的概率圖。 尖峰厚尾的含義一般從統(tǒng)計學方面定義尖峰特性就是某一隨機變量的值出現(xiàn)在均值附近，也就是峰頂附近的概率密度值大于理論上正態(tài)分布的估計值而呈現(xiàn)出在均值附近整體高于正態(tài)分布的理論值。肥尾是指相對于正態(tài)分布假設的資產(chǎn)收益率的尾部，實際的股票收益率的尾部比正態(tài)擬合的尾部要厚，這也就意味著收益信息的出現(xiàn)不是連續(xù)變化形式的，而是以成堆的方式出現(xiàn)。厚尾現(xiàn)象產(chǎn)生的原因很多，但主要原因是和自然界中的事物相比，金融序列略有不同。隨機變量的峰度系數(shù)定義的是四階中心矩除以其二階中心矩的平方。如果，表明該隨機變量的分布肯定不是嚴格的正態(tài)分布，因為在均值附近出現(xiàn)高于正態(tài)分布估計的理論值，其峰度高于正態(tài)分布[8]。 檢驗法統(tǒng)計量通常是由偏度系數(shù)和峰度系數(shù)計算而來的，所謂偏度系數(shù)就是來度量某一分布函數(shù)的對稱性，用來表示。統(tǒng)計量是由Jarque和Bera提出的檢驗法，同時他們在定義了統(tǒng)計量計算公式的基礎上也理論推導出統(tǒng)計量服從的是分布，并結合數(shù)據(jù)計算出自由度為2，即統(tǒng)計量滿足：，其中表示的是給定的顯著性水平[9]。要利用圖鑒別樣本數(shù)據(jù)是否近似于正態(tài)分布，只需看圖上的點是否近似地在一條直線附近，而且該直線的斜率為標準差，截距為均值，用圖還可獲得樣本偏度和峰度的粗略信息。人眼不能很好地判別曲線，其他的分布也可能形成相似的形狀。 尾極值指數(shù)法首先介紹一下尾極值的定義，在金融分析領域里尾極值指數(shù)又可以分為上尾極值指數(shù)和下尾極值指數(shù)。所以一般都認為，標準正態(tài)分布的尾分布為薄尾特性，在此基礎上，如果計算某一隨機變量分布的尾極值指數(shù)，則可認為該分布服從正態(tài)分布，如果計算得出尾極值指數(shù)，則表示該分布不是正態(tài)分布而是屬于厚尾型分布的。有前面尾型判斷原則可知，若尾極值指數(shù)是薄尾型的，是厚尾型的。所以，通過對總體抽樣，在大樣本容量下，對于給定顯著性水平，若有，則就認為該隨機變量的分布呈現(xiàn)“厚尾”性，相反，如果計算得出，則就認為該隨機變量分布是“薄尾”性的。之后又詳細介紹如何檢驗收益率的尖峰性和厚尾性，分別給出了判別計算式，其中尖峰檢驗有峰度系數(shù)法和JB統(tǒng)計量法，厚尾性檢驗有正態(tài)圖法和尾極值法，文中也都給出了計算方法。在穩(wěn)定分布中，獨立同分布的隨機變量之和及它們本身具有相同的分布。式中的表示位移參數(shù)，用來判定分布的對稱性，用來表示尺度對分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度，表示的是分布指數(shù)，當時反映分布就表示分布的漸進行為，此時漸進行為可以表示為： （33） 其中為伽馬函數(shù)。 對于和，分布縮減為雷維分布（尺度參數(shù)為，移位參數(shù)為）；以上三個分布其實是相互關聯(lián)的。由于它可以看作是兩個不同位置的指數(shù)分布背靠背拼接在一起，所以它也叫作雙指數(shù)分布。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態(tài)分布更加平坦。通過計算混合高斯分布的累積分布函數(shù)，可以將其分解為各個具有不同加權值的累積分布之和。 基于回歸分析的正態(tài)比模型回歸分析（regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法。 回歸分析是應用極其廣泛的數(shù)據(jù)分析方法之一。它最早由高斯提出，后來費歇在1912年的文章中重新提出，并且證明了這個方法的一些性質。求極大似然函數(shù)估計值的一般步驟： （1）由總體分布導出樣本的聯(lián)合概率密度； （2）把樣本聯(lián)合概率密度函數(shù)中自變量看成已知常數(shù)，而把參數(shù)看作自變量，得到似然函數(shù)； （3）求似然函數(shù)的最大值點（常轉化為求對數(shù)似然函數(shù)的最大值點） ； （4）在最大值點的表達式中，用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計值。當然極大似然估計只是一種粗略的數(shù)學期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計。從直觀上來看，即樣本值已經(jīng)出現(xiàn)了，它們出現(xiàn)的概率相對來說應比較大，應使其概率取比較大的值[12]?？梢酝ㄟ^求解下列方程來得到極大似然解： （326） 擬合優(yōu)度檢驗KolmogorovSmirnov檢驗常譯為柯爾莫哥洛夫斯米爾諾夫檢驗，簡寫為KS檢驗，亦稱D檢驗法，也是一種擬合優(yōu)度檢驗法。一般來說，若知道某一累積分布函數(shù)，則該分布函數(shù)的KS統(tǒng)計量計算方法為： （328）通過GliVenkoCantelli定理可知，如果選取的樣本都是選自同一分布函數(shù)，KS統(tǒng)計量近似等于零。一般對于給定的置信水平，若有，就認為原假設是不正確的而應該接受備擇假設。本章第二小節(jié)是在總結當前分布模型的基礎上提出一種新的分布函數(shù)模型，是基于兩個正態(tài)函數(shù)之比的分布函數(shù)，文中給出部分推導過程以及最后的概率密度函數(shù)。4 中國股票市場收益率分布實證分析 數(shù)據(jù)選取及正態(tài)檢驗 數(shù)據(jù)選取本文對中國股票市場收益率進行實證分析，選取的是時間跨度為2008年1月2日至2012年12月31日上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)。由于我國上市公司的股票有流通股和非流通股之分，其流通量與總股本并不一致，所以總股本較大的股票對股票指數(shù)的影響就較大，上證指數(shù)有時就成為機構大戶造市的工具，使股票指數(shù)的走勢與大部分股票的漲跌相背離。圖41 上證指數(shù)走勢圖從上圖可以看出從2008年初到2012年底，上證股票市場經(jīng)歷了一次較大動蕩，及在2008年時股票收盤價出現(xiàn)大幅度下滑，說明了2008年的世界經(jīng)濟危機給上海股票市場帶來重大影響，之后隨著金融復蘇，股票價格逐漸回升，在2009年達到最高，之后最然也有波動，但是整體呈緩慢下降趨勢。這里通過選取2008至2012年中國股票市場具有代表性的上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)分析中國股票市場收益率是否符合正態(tài)分布。 收益率分布尖峰態(tài)檢驗對于股票收益率的尖峰態(tài)檢驗已經(jīng)在第二章中介紹了檢驗方法，即使用峰度系數(shù)檢驗和利用JB統(tǒng)計量進行檢驗。通過峰度計算公式分別計算出上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的峰度值，然后計算兩個指數(shù)收益率的偏度，最后，可以通過峰度和偏度值計算出兩個股票指數(shù)收益率的JB統(tǒng)計量，計算結果如表41所示。采用圖法比較簡單，可以直接將收益率分布與正態(tài)分布作圖，如果是一條直線則說明為薄尾分布，否則為厚尾分布。 股票收益率的尖峰厚尾分布 收盤價與開盤價的一元線性回歸1. 散點圖為了研究股票收益的分布，現(xiàn)在研究股票的收盤價和開盤價的關系，這里繪制上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的收盤價和開盤價散點圖，如圖47和圖48所示。根據(jù)2008年至2012年的上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的開盤價和收盤價數(shù)據(jù)做一元線性回歸，相應的Matlab程序如下： % 收盤價與開盤價的一元線性回歸（包含參數(shù)估計結果、擬合效果圖和檢驗結果） data = xlsread(39。 y2 = data(:,3)。)。運行以上程序，得到回歸分析的結果如表42所列，并得到擬合效果圖如圖49和圖410所示。表43 判定系數(shù)R2值數(shù)據(jù)來源RsquaredAdjusted RSquared 上證綜合指數(shù)深證成分指數(shù)由表43可知，上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的判定系數(shù)R2值均非常接近于1，這就說明了回歸直線的擬合效果是非常好的。表44 基于回歸分析參數(shù)估計參數(shù)上證綜合指數(shù)深證成分指數(shù)再由得到的參數(shù)做收益率的分布擬合，判斷收益率是否服從基于兩個正態(tài)之比的分布函數(shù)，用Matlab擬合得到如圖411和圖412所示。在Matlab中提供了kstest函數(shù)進行KS檢驗。如果cdf=[ ], kstest( )將使用標準正態(tài)分布[16]。表45 KS檢驗值（基于回歸分析）返回值hpksstatcv上證綜合指數(shù)1深證成分指數(shù)1 從上表可知，所以拒絕原假設，說明基于回歸分析的參數(shù)估計是不合適的，該參數(shù)估計結果對應的分布不能很好的擬合股票收益率的分布。另外，從表47中KS檢驗結果可知。本章第二小節(jié)對中國股票市場收益率是否具有尖峰厚尾特性進行驗證，通過計算峰度系數(shù)和JB統(tǒng)計量的方法證明中國股票收益率存在尖峰特性。對于股票收益率服從正態(tài)分布理論已經(jīng)從最開始的廣泛認可到后來不斷召到質疑，現(xiàn)在已經(jīng)不再認為股票收益率是服從正態(tài)分布的了?？梢哉f，目前研究股票收益率分布函數(shù)還沒有明確的結論。文章最后對新建立的分布函數(shù)進行實例驗證，通過數(shù)據(jù)擬合分析新建立的分布函數(shù)對收益率分布的適用性，得出基于極大似然估計的正態(tài)比分布對金融資產(chǎn)收益率有非常好的擬合效果。在以后的研究中可能會考慮到股票市場的影響因素而不是僅僅考慮以何種分布函數(shù)較好的去擬合收益率。謝中華老師是一個為人謙和，認真負責，對待學術嚴謹務實，對待學生熱心隨和的人。論文的結題也將代表著我大學生涯的即將結束，四年的大學生活雖算不上完美但也精彩，再次感謝這一路家人老師朋友和同學的幫助，感謝你們的陪伴和照顧。y1 = data(:,1)。linear39。m2 = mean(y1)。fun1 = (z,m1,s1,m2,s2)(z*m1*s2/s1+m2*s1/s2).^2./(2*(s2^2*z.^2+s1^2))。f1 = fun3(u0,b,m1,s1,m2,s2)。hold onplot(u0,f1,39。,2)