【正文】 數(shù)列的判定、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式的求解、前 n 項(xiàng)和的求解等，目的是考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算求解能力 ． 無論在哪個(gè)點(diǎn)展開的命題，試題難度都不大 ． 第 9講 │ 二輪復(fù)習(xí)建議 預(yù)計(jì) 2022 年對(duì)該部分的考查基本方向不會(huì)變化，即主要考查數(shù)列的一般問題、等差數(shù)列與等比數(shù)列中基本量的計(jì)算、通項(xiàng)公式的求解、前 n 項(xiàng)和的求解等． 復(fù)習(xí)建議： 從近三年浙江卷的考查情況看， 20 10 、 2022年數(shù)列出現(xiàn)在選擇、填空題中， 201 1 年數(shù)列出現(xiàn)在解答題中，變化較大，但難度中等偏下 ． 考查的內(nèi)容就是數(shù)列的基本問題 ( 通項(xiàng)、求和 ) 、等差數(shù)列和等比數(shù)列，因此在復(fù)習(xí)該講內(nèi)容時(shí)要堅(jiān)持基礎(chǔ)為主，強(qiáng)化運(yùn)算能力的培養(yǎng) ． 第 9講 │ 主干知識(shí)整合 主干知識(shí)整合 第 9講 │ 主干知識(shí)整合 1. an與 Sn的關(guān)系 在數(shù)列 { an} 中， Sn＝ a1＋ a2＋ ? ＋ an，從而 an＝????? S1， n ＝ 1 ，Sn－ Sn － 1， n ≥ 2. 2 ． 等差數(shù)列和等比數(shù)列 (1) 公式：如果數(shù)列 { an} 是公差為 d 的等差數(shù)列，則 an＝ a1＋ ( n － 1) d ， Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝n ? a1＋ an?2. 如果數(shù)列 { an} 是公比為 q 的等比數(shù)列，則 an＝ a1qn － 1， Sn＝????? a1? 1 － qn?1 － q＝a1－ anq1 － q， q ≠ 1 ，na1， q ＝ 1. 第 9講 │ 主干知識(shí)整合 (2) 性質(zhì)：等差數(shù)列 { an} 對(duì)正整數(shù) m ， n ， p ， q ， am＋ an＝ ap＋ aq? m ＋ n ＝ p ＋ q ， am＋ an＝ 2 ap? m ＋ n ＝ 2 p . 等比數(shù)列 { an} 對(duì)正整數(shù) m ， n ， p ， q ， aman＝ apaq? m ＋ n ＝p ＋ q ， am＋ an＝ a2p? m ＋ n ＝ 2 p . (3) 結(jié)論：等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m， ? 為等差數(shù)列；等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則在公比不等于－ 1 時(shí)， Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m， ? 成等比數(shù)列． 等差數(shù)列的單調(diào)性由公差 d 的范圍確定， 等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)和公比的范圍確定 . 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 數(shù)列的概念與表示 例 1 ( 1 ) 數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和記為 Sn， a1＝ 1 ， an ＋ 1＝ 2 Sn＋1 ( n ≥ 1 ) ， 則數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式是 ________ ． ( 2 ) 已知數(shù)列 { an} 滿足 ： a1＝ 1 ， a2＝12， 且 [ 3 ＋ ( － 1 )n] an ＋ 2－2 an＋ 2 [( － 1 )n－ 1 ] ＝ 0 ， n ∈ N*， 則數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式是_____ ___ ． 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 [ 思考流程 ] (1)( 分析 ) 欲求數(shù)列通項(xiàng)只需找到數(shù)列的遞推關(guān)系或者求出和的關(guān)系 ? ( 推理 ) 升角標(biāo)后相減或者利用 an ＋ 1＝ Sn＋ 1 － S n 與已知相結(jié)合得出 S n 的關(guān)系式后求出 S n ，再根據(jù) S n 求數(shù)列的通項(xiàng) ? ( 結(jié)論 ) 得出結(jié)果． (2) ( 分析 ) 欲求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式，需要弄清數(shù)列的遞推關(guān)系 ? ( 推理 ) 分 n 為奇數(shù)和偶數(shù)分別得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律 ? ( 結(jié)論 ) 按照等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出結(jié)果． 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 [ 解析 ] (1) 方法 1 ：由 a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 可得 a n ＝ 2 S n － 1 ＋ 1( n ≥ 2) ，兩式相減得 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 a n ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ( n ≥ 2) ． 又 a 2 ＝ 2 S 1 ＋ 1 ＝ 3 ，所以 a 2 ＝ 3 a 1 ，故 { a n } 是首項(xiàng)為 1 ，公比為 3 的等比數(shù)列，所以 a n ＝ 3n － 1. [ 答案 ] (1) an＝ 3n － 1 (2) an＝????? n ? n 為奇數(shù) ? ，??????12n2? n 為偶數(shù) ? 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 方法 2 ：由于 an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn， an ＋ 1＝ 2 Sn＋ 1 ，所以 Sn ＋ 1－Sn＝ 2 Sn＋ 1 ， Sn ＋ 1＝ 3 Sn＋ 1 ，把這個(gè)關(guān)系化為 Sn ＋ 1＋12＝3??????Sn＋12， 即得數(shù)列??????Sn＋12為首項(xiàng)是 S1＋12＝32，公比是 3 的等比數(shù)列，故 Sn＋12＝32 3n － 1＝12浙江省專用 本課件為基于精確校對(duì)的 word書稿制作的 “ 逐字編輯 ” 課件，如需要修改課件，請(qǐng)雙擊對(duì)應(yīng)內(nèi)容，進(jìn)入可編輯狀態(tài)。3n，故 Sn＝121 ， 177。 遼寧卷 ] 已知等比數(shù)列 { an} 為遞增數(shù)列，且 a25＝ a10,2( an＋ an ＋ 2) ＝ 5 an ＋ 1，則數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式為 an＝________. 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 [ 思考流程 ] ( 分析 ) 只要求出首項(xiàng)和公比 ? ( 推理 ) 根據(jù) a25＝a10 ,2 ( an＋ an ＋ 2) ＝ 5 an ＋ 1列方程解之 ? ( 結(jié)論 ) 使用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出 ． 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 [ 解析 ] 由已知條件 ??????an 為等比數(shù)列， 2( a n ＋ a n ＋ 2 ) ＝ 5 a n ＋ 1? 2( an＋ an a3＝ 8 ? ( 目標(biāo) ) 求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 ? ( 方法 ) 列出方程求解首項(xiàng)和公差，根據(jù)通項(xiàng)公式得通項(xiàng)； (2) ( 已知 ) a2， a3， a1成等比數(shù)列 ? ( 目標(biāo) ) 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ? 確定數(shù)列 {| an|} 通項(xiàng)公式，按照項(xiàng)的符號(hào)分段求解． 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 解： (1) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的公差為 d ，則 a2＝ a1＋ d ， a3＝ a1＋ 2 d . 由題意得????? 3 a1＋ 3 d ＝－ 3 ，a1? a1＋ d ?? a1＋ 2 d ? ＝ 8 ， 解得????? a1＝ 2 ，d ＝－ 3 ，或????? a1＝－ 4 ，d ＝ 3. 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 an＝ 2 － 3( n － 1) ＝－ 3 n ＋ 5 ，或 an＝－ 4 ＋ 3( n － 1) ＝ 3 n － 7. 故 an＝－ 3 n ＋ 5 ，或 an＝ 3 n － 7. (2) 當(dāng) an＝－ 3 n ＋ 5 時(shí)， a2， a3， a1分別為－ 1 ，－ 4,2 ，不成等比數(shù)列； 當(dāng) an＝ 3 n － 7 時(shí)， a2， a3， a1分別為－ 1,2 ，－ 4 ，成等比數(shù)列，滿足條件． 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 故 | an| ＝ |3 n － 7| ＝????? － 3 n ＋ 7 ， n ＝ 1 ， 2 ，3 n － 7 ， n ≥ 3. 記數(shù)列 {| an|} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn. 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， S1＝ | a1| ＝ 4 ；當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， S2＝ | a1| ＋ | a2| ＝ 5 ； 當(dāng) n ≥ 3 時(shí)， Sn＝ S2＋ | a3| ＋ | a4| ＋ ? ＋ | an| ＝ 5 ＋ (3 3 － 7) ＋ (3 4 － 7 )＋ ? ＋ (3 n － 7) ＝ 5 ＋? n － 2 ? [2 ＋ ? 3 n － 7 ? ]2＝32n2－112n ＋ 10. 當(dāng) n ＝ 2 時(shí)，滿足此式． 綜上， Sn＝????? 4 ， n ＝ 1 ，32n2－112n ＋ 10 ， n ＞ 1. 第 9講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 [ 點(diǎn)評(píng) ] 在求一個(gè)數(shù)列的絕對(duì)值的前 n 項(xiàng)和時(shí) ， 一般思路是根據(jù)其項(xiàng)的符號(hào)分段求解 ， 但也可從原數(shù)列的前 n 項(xiàng)出發(fā) ， 通過適當(dāng)?shù)淖儞Q從整體上求解 ． 規(guī)律技巧提煉 第 9講 │ 規(guī)律技巧提煉 ? 規(guī)律 根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng) an與前 n 項(xiàng)和的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)考慮兩個(gè)方面，一方面是根據(jù) Sn ＋ 1－ Sn＝ an ＋ 1把數(shù)列中的和轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項(xiàng)之間的關(guān)系；另一方面是根據(jù) an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn把數(shù)列中的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系，先求 Sn再求 an. ? 技巧 判斷數(shù)列 { an} 是不是等差數(shù)列的方法有： (1) 根據(jù)等差數(shù)列的定義，即證明 an ＋ 1－ an＝ d ( 常數(shù) ) ； (2) 證明 an ＋ 1＝an＋ an ＋ 22；(3) 證明其通項(xiàng)公式是關(guān)于 n 的一次函數(shù) ( 這樣的等差數(shù)列公差不等于零 ) 等．判斷數(shù)列 { an} 為等比數(shù)列的基本方法是定義法． 第 9講 │ 規(guī)律技巧提煉 ? 易錯(cuò) 關(guān)系式 an＝????? S1， n ＝ 1 ，Sn－ Sn － 1， n ≥ 2 ，一定要注意分n ＝ 1 ， n ≥ 2 兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起．三個(gè)數(shù) a ， b ， c 成等差數(shù)列的充要條件是 b ＝a ＋ c2，但三個(gè)數(shù) a ， b ， c 成等比數(shù)列的必要條件是 b2＝ ac . 命題立意追溯 第 9講 │ 命題立意追溯 創(chuàng)新意識(shí) —— 證明新定義的數(shù)列為等差、等比數(shù)列 示例 [ 2022 bn( n ∈ N*) ，所以 { bn} 是公比為2a1的等比數(shù)列．若 a1≠ 2 ，則2a11 ，于是 b1 b2 b3. 又由 a1＝a1＋ bna21＋ b2n得 bn＝a1177。 a99a1 0 0 a1 0 0 aq? m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N*) ． [ 答案 ] (1)(3)(4) 第 9講 │ 教師備用例題 例 2 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x － cos x ， { a n } 是公差為π8的等差數(shù)列， f ( a 1 ) ＋ f ( a 2 ) ＋ ? ＋ f ( a 5 ) ＝ 5π ，則 [ f ( a 3 )]2－ a 1 a 5 ＝ ( ) A ． 0 B.116π2 C.18π2 D.1316π2 第 9講 │ 教師備用例題 [ 解析 ] D 設(shè) a3＝ α ，則 a1＝ α －π4， a2＝ α －π8， a4