【正文】 次交換都讓張三很感滿意，最后張三必然要成為窮光蛋，而李四僅用一個梨和一個桃就變成了百萬富翁。那么此時李四提出用桃換張三的蘋果，并要求張三找給李四微不足道的一分錢，李四就不會不答應(yīng)?？梢?，不能成立，故只有。傳遞性意味著對于任何：若且，則；若且，則。偏好關(guān)系服從自反性公理，這是因為任何消費方案都同自身是無差異的?？梢宰C明，無差異偏好“”是上的等價關(guān)系。遵照數(shù)學(xué)表示上的習(xí)慣，當(dāng)不成立時，就用表示之。這樣，理性消費者必然能夠作出而且最多只能作出三種評價之一：要么，要么，要么。如果某人認(rèn)為優(yōu)于的同時，又認(rèn)為次于，那么他就是一個失去理性的人。如果消費者認(rèn)為比好，就記為, 稱作“優(yōu)于”；如果他認(rèn)為比差，就記為，稱作“次于”；如果他認(rèn)為與一樣好，就記為，稱作“與無差異”。效用可自我比較，意味著消費者對各種可行消費方案總可以排出個好壞次序，即不論他能否說出滿足程度到底有多少，但總可以說出“這種消費比那種消費更好一些或較差一些或沒有什么差異”，這便是序數(shù)效用論的觀點。又如，“雪中送碳”說的也是同樣的道理。 不同消費者在消費了同等數(shù)量的同一商品后，所取得的效用是不同的，各個有各人的感受。如果一種商品對于消費者沒有效用，消費者就不會產(chǎn)生對這種商品的偏好。第二節(jié) 消費者偏好消費集合劃定了消費者的允許選擇范圍，在這個范圍內(nèi)消費者選擇自己滿意的消費方案。 上海 面粉 消費集合 消費集合 北京 電視機(jī) 圖31 位于不同地區(qū)的商品 圖32 用整數(shù)計量的商品通常認(rèn)為，閉性、下有界性和連通性是消費集合特有的性質(zhì)，尤其是連通性表明，任何兩種可行消費方案方案之間都有連續(xù)的過渡渠道。但從理論上講，對非凸集合進(jìn)行凸化處理，即用它的凸包(即包含它的最小凸集)來代替它，這是可行的。因此，他的消費集合不是凸集。一種情形是考慮位于不同地區(qū)的商品，此時消費集合不具有凸性。于是，消費集合表現(xiàn)出凸性。(四)凸性假設(shè)假設(shè)HC4(凸性). 消費集合是商品空間的凸子集。消費集合的這種性質(zhì)，稱為消費集合的連通性。這就是下有界性假設(shè)的意義, 它是一條基本需要假設(shè)。另一方面，由消費者提供的商品，其供給量不可能無限制地增大。我們把這條假設(shè)稱為閉性假設(shè)，它等價于說, 消費集合邊界上的消費計劃都是可行的，即消費集合包含著它的邊界。經(jīng)濟(jì)學(xué)中，尋找消費集合的特征，表現(xiàn)為對消費集合提出一些合理的前提假設(shè)，即對消費選擇進(jìn)行一些可行性分析。二、關(guān)于消費集合的假定消費集合描述了消費者選擇活動的允許范圍，即他的自由選擇范圍。這樣或那樣的限制，導(dǎo)致商品空間中的一部分向量所代表的消費計劃，成為不允許或不可能選擇的消費計劃，應(yīng)當(dāng)把它們加以排除，剩下來的那些允許作為消費計劃的向量構(gòu)成了商品空間的一個子集合，我們把這個集合叫做消費者的消費集合，并用表示之。一、消費集合一般來說，并非商品空間中的任何商品向量都允許作為消費者的消費計劃。這樣，消費活動就表現(xiàn)為消費者選擇商品空間中的向量。我們的基本假設(shè)是：消費者以追求效用最大化為目的，是市場價格的接受者，完全依據(jù)價格行事。本章及后面幾章都假定市場上總共有種可供選擇的商品。習(xí)慣上，人們總是用正消費來表示消費者對一種商品的真正消費，用負(fù)消費來表示消費者向市場提供商品(比如提供勞動)。消費活動必然受到消費者所生存的社會環(huán)境和自然環(huán)境的影響，受到法律、制度、政策、物質(zhì)財富、生理狀態(tài)等條件的制約。消費集合中的向量稱為可行消費向量或可行消費計劃。上面對這個范圍的描述顯然是很一般的，沒有說出它應(yīng)具有什么樣的結(jié)構(gòu)特點。(一)閉性假設(shè)假設(shè)HC1(閉性). 消費集合是商品空間的非空閉子集。(二)下有界性假設(shè)假設(shè)HC2(下有界性)．存在向量使得對一切, 都成立 。比方說由消費者提供的勞動，由于消費者生理上的限制，他對勞動的供給量必有一個最大限度。(三)連通性假設(shè)假設(shè)HC3(連通性). 消費集合是商品空間的連通子集。用數(shù)學(xué)的語言講，連通性表明不能表示成為兩個相隔離的非空子集之并。實際消費活動中，當(dāng)消費者面臨兩種選擇時往往進(jìn)行綜合，使其二者兼顧。所謂的凸性，是指對中任何兩個向量和以及任何的實數(shù)：，皆成立. 這正說明任何兩種可行消費的加權(quán)平均消費方案仍然是可行的。例如，考慮位于北京和深圳兩地的商品，消費者不可能同時既位于北京，又位于深圳。圖31描繪了這種消費集合的形狀：它是由兩條座標(biāo)軸的正半部分構(gòu)成的。尤其是當(dāng)對商品的消費量較大時，至于用整數(shù)還是用一般實數(shù)來計量多少，便無關(guān)緊要。實際消費活動中，消費集合還往往表現(xiàn)出比連通性更好的性質(zhì)——凸性。消費者對這種方案滿意，而對那種方案不滿意，意味著消費能夠?qū)Ω鞣N可行消費方案的好壞作出比較和評價，這種評價反映了消費者的偏好(即嗜好或愛好)。所謂效用，是指消費者消費一定數(shù)量的若干種商品后所感受到的滿足程度。例如，對于喜歡吃米飯的人來說，吃完四兩米飯后會感到很滿足，而對于不喜歡吃米飯的人來說，吃完后會感到不滿足。效用作為自我感受，可以進(jìn)行自我比較，即同一人對自己消費不同(數(shù)量或種類的)商品后所感到的滿足程度可以進(jìn)行比較，對自己在不同時刻或環(huán)境下消費商品后所取得的效用可以進(jìn)行比較。消費者對消費方案作出的這種評價和比較，就是消費者的偏好。當(dāng)然，當(dāng)優(yōu)于時，次于。當(dāng)然，有些時候人們有可能對某兩種方案的“誰好誰壞”無法作出判斷。消費方案之間的比較“”，好象實數(shù)之間的大小比較“”一樣，確定了消費集合上的一種“序”關(guān)系?？梢钥闯觯河纱艘龅南M集合上的二元關(guān)系 (或 )，稱為消費者的偏好關(guān)系。集合稱作的等價類或者無差異類或者無差異曲線，它由兩兩無差異的消費方案構(gòu)成。如果某個消費者認(rèn)為一種消費方案同它自己比較時都存在有差異，那么很難認(rèn)為該消費者具有理性。事實上，當(dāng)且時，傳遞性已告訴我們。同理可證，當(dāng)且時。交換完畢后，李四又提出用梨換張三手中的桃，并要求張三找李四一分錢，張三又會答應(yīng)下來。顯然這樣的事情不可能發(fā)生在理性消費者身上，即理性消費者的偏好一定會服從傳遞性公理。有時候，還會對偏好提出單調(diào)性假設(shè)。欲望的無止境就表現(xiàn)為，當(dāng)他每選擇到一種消費方案之時，總發(fā)現(xiàn)還有比這種方案更好的可行消費方案。設(shè)是消費集合的子集。今后為了簡單起見，我們把消費者在中的滿足消費稱為消費者的滿足消費。(二)偏好的連續(xù)性偏好的連續(xù)性，是指消費者在對消費方案進(jìn)行評價時表現(xiàn)出的這樣一種規(guī)律：選定一種方案作為衡量其它方案優(yōu)次的標(biāo)準(zhǔn)以后，任何一列不比優(yōu)的可行消費方案的極限依然不比優(yōu)，任何一列不比次的可行消費方案的極限依然不比次。等價地說，集合與都是的相對開子集（這里，的相對開子集是指的開子集同的交集）。因此，在對食物、衣服和住宅三種商品的消費方面，他的偏好可用字典序來表示。(三)偏好的凸性消費集合的凸性，允許消費者采取加權(quán)平均法對任何兩種可行消費計劃進(jìn)行綜合。具體來說，凸性有如下幾種表達(dá)方式：定義(偏好的凸性). 設(shè)消費集合是凸集。則(1) 是弱凸偏好當(dāng)且僅當(dāng)對任何，集合是凸集；(2) 是弱凸偏好當(dāng)且僅當(dāng)對任何，集合是凸集。從的完全性可知，總有或成立，但不論哪一個成立，的弱凸性和傳遞性都保證了, 即，這就證明了是凸集。于是，, 即，這就證明了的弱凸性。于是，的弱凸性保證了或者, 從而，即，這就證明了是凸集。既然是凸集，因此應(yīng)該有，即，這是不可能發(fā)生的結(jié)果。但是對于連續(xù)偏好來說，凸性蘊含著弱凸性，即連續(xù)凸偏好必然是弱凸的，這正是“弱凸性”中 “弱”字的意義所在。連續(xù)凸偏好為什么會具有如上所述的特點呢？我們作一點分析。采用反證法，假定。 如果說，即或，那么在的情況下的凸性說明，這與相矛盾；在的情況下的凸性說明，這又與相矛盾。的弱凸性得到證明。既然連續(xù)凸偏好是弱凸的，中的任何方案就都不比和差。一個更有意義的特點是，嚴(yán)格凸偏好下的任何無差異類都不包含有非單點的非空凸子集，因而無差異類很薄，而且不會包含任何直線段。從偏好的嚴(yán)格凸性可知，從而；但注意，即，這與相矛盾。需求函數(shù)的存在性離不開嚴(yán)格凸性或至少離不開內(nèi)部嚴(yán)格凸性。單調(diào)性也有多種表述方式，并且在理論研究中往往會為用到，但本書不把它作為討論的必要前提。因此，我們對理性消費者作出這樣的構(gòu)畫：理性消費者的消費集合是商品空間的非空下有界閉凸子集，他的偏好 是無滿足的、連續(xù)的凸偏好。設(shè)是的任意一個非空有界閉子集。特點2. 具有無滿足的凸偏好的消費者必然局部無滿足，從而理性消費者局部無滿足。注意， 是凸偏好，且是與的加權(quán)平均方案。 ? ? ? ? ? 圖34 有界閉集中有滿足消費 圖35 局部無滿足第三節(jié) 效用函數(shù)效用理論是消費理論的基礎(chǔ)，起源于基數(shù)效用學(xué)說，后來發(fā)展成為序數(shù)效用論。的確，序數(shù)效用論者就是這么看待商品效用的。具體來講，設(shè)是消費集合的偏好關(guān)系，一個定義在上的實值函數(shù)叫做是的效用函數(shù)，是指滿足如下條件：。所以，只要的效用函數(shù)存在，的效用函數(shù)就有無限多個。效用函數(shù)存在定理(G. Debreu). 商品空間的任何連通子集上的連續(xù)偏好關(guān)系都有連續(xù)的效用函數(shù)。由于這個定理，我們才可在偏好關(guān)系與效用函數(shù)之間隨意地選擇使用。定理. 設(shè)是偏好關(guān)系的效用函數(shù)。20世紀(jì)70年代，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對效用函數(shù)傾注了較多的注意力，尤其是德布羅于1972年對效用函數(shù)的可微性問題作出了肯定的答復(fù)。從到的一個映射稱為—微分同胚，是指：(1)是1—1映射，(2)是滿射，(3)是—映射，(4)的逆映射也是—映射。如果 是中的一張—超曲面，則稱 是—偏好關(guān)系。定理中所說的奇點，含義是指該點處函數(shù)的各個一階偏導(dǎo)數(shù)都為零。四、效用梯度與偏好梯度初級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)展示了無差異分析的重要作用。設(shè)消費者的效用函數(shù)為，并且服從假設(shè)HU。這是因為從全微分公式(這里表示向量內(nèi)積)可知，只有當(dāng)增加的消費向量與效用梯度的夾角保持銳角時，效用的增加量才大于零；當(dāng)?shù)?長度不變)方向變化到與同方向時，效用增加量達(dá)到最大。幸運的是，下面的定理保證了效用梯度方向與具體的效用函數(shù)選擇無關(guān)。由此定理，我們便可引入與效用函數(shù)選擇無關(guān)的偏好梯度概念。這就是說，為了保持效用水平不變，商品消費量的調(diào)整向量必須保持與偏好梯度正交。以下證明滿足條件(2)。令，則不是在中的極值點，從而存在和使得且。注意，是任意給定的，從而是可微函數(shù)。最后，從可知。當(dāng)把這種消費同另一種消費作比較時，如果消費者更喜歡這種消費，說明這種消費能給消費者帶來更大的滿足，因而更需要這一種消費。一、收入約束消費者進(jìn)行消費選擇時，一方面要受到一般性的客觀條件制約，要求在消費集合所劃定的許可范圍內(nèi)選擇；另一方面，還要受到經(jīng)濟(jì)條件的制約，要求在收入允許的范圍內(nèi)選擇。設(shè)消費者面臨的商品空間為，消費集合為，偏好關(guān)系為 ，收入為，商品的市場價格體系為。把這兩個條件結(jié)合在一起，便形成了消費者的收入約束或者叫做預(yù)算約束：收入約束確定了消費者的實際選擇范圍，它不再是整個消費集合，而只是的一部分：稱這個集合為消費者的預(yù)算集合。所以，最低支出條件是必須的。用表示預(yù)算集合中消費者認(rèn)為最好的所有消費方案組成的集合，即這個集合稱為消費者在價格體系和收入之下的馬歇爾需求集合，或者簡稱為需求集合。下面的定理作