【正文】 換是在 處 的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為 2π ，即 對于時(shí)域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列 ，仍假設(shè)它的 傅里葉變換是在 處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為 2π ，考 慮到時(shí)域離散信號傅里葉變換的周期性，因此 的 傅里葉變換應(yīng)寫為： tja etX 0)( ?? 0???? ? ? ?02)( 00 ??????? ? ??? ??? ??dteeeFTjX tjtjtjatje 0?0???tje 0?? ? ? ??????????rtjja reFTeX ??????? 22)(00回到本節(jié) 返回 一般周期序列 的傅里葉變換 假設(shè) 的周期為 N，將它用傅里葉級數(shù)來表示，即 上式的求和號中的每一項(xiàng)都是復(fù)指數(shù)序列，其中第 K項(xiàng) 即為第 K次諧波 的傅里葉變換根據(jù) 其周期性能夠表示為： )(~nx)(~nx?????? ???? kenxkX NnknNj102)(~)(~???????rknNjekXN?2)(~1????????rknNj rkNkXNekXNFT )22()(~2])(~1[ 2 ??????返回 回到本節(jié) 周期序列 由 N次諧波組成，因此它的傅里葉變換可 以表示成 式中， k=0,1,2,…,N 1, r=3,2,1,0,1,2,… 以 N為周期，而 r變化時(shí)， δ 函數(shù)變化 2π r，因此 如果讓 k在 (∞,∞) 變化，上式可以簡化為 上式就是一般周期序列 的傅里葉變換表達(dá)式 。 為求系數(shù) ak，將上式兩邊乘以 ，并對 n在一 個(gè)周期 N中求和，得到： )(~ nx????102)(~NkknNjk eanX?mnNje ?2?? ? ????????????????101021022)(~NnNnmnNjNkknNjkmnNjeeaenx???() 回到本節(jié) 返回 將上式右邊的兩個(gè)求和號交換位置，得到： 式中 ? ? ????????? ?101010)(22)(~NnNnNknmkNjkmnNj eaenx ??)(2)(210)(211mkNjNmkNjNnnmkNjeee????????? ???mkmkNeemkNjmkj???????????011)(2)(2??回到本節(jié) 返回 因此得到 上式中 ,k和 n均取整數(shù)，當(dāng) k變化時(shí)， 是周期為 N 的周期函數(shù)，所以 ak是以 N為周期的周期序列，即 ak=ak+ln 令 將式 ()代入上式，得到 這里 是以 N為周期的周期序列。 上式成立的條件是序列絕對可和 ，或者 說序列的能量有限，即滿足下面的公式： 對于不滿足上式的信號，可以引入 奇異函數(shù) ，使之能夠 用傅里葉變換表示出來。第二章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ? 引言 ? 時(shí)域離散信號的傅里葉變換 ? 時(shí)域離散信號的 Z變換 ? 利用 Z變換對信號和系統(tǒng)進(jìn)行分析 引言 信號、系統(tǒng) 分析信號在時(shí)間分布上的特性 和運(yùn)算：直觀，物理概念會比 較的清楚。 ???????nnjj enxeX ?? )()(????????nnznx )(() 回到本節(jié) 返回 離散信號 FT和模擬信號 FT的比較： ? 離散信號 FT ? 模擬信號 FT 可以發(fā)現(xiàn)二者的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是完成時(shí)間域 頻域 的轉(zhuǎn)換，不同處： 時(shí)間變量 ： n取整數(shù)，求和運(yùn)算； t取連續(xù)變量，積分運(yùn)算。一般簡稱 為 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用 DFS(Discrete Frourier Series)表示，即 。 )(~nx? ???????????10)22()(~2)](~[)(Nk rj rkNkXNnxFTeX ??????)(~ kX????????kj kNkXNnxFTeX )2()(~2)](~[)( ????? 教材中表 列舉了基本序 列的傅里葉變 換對。 本小節(jié)重點(diǎn)介紹： ① 傅里葉變換的周期性 ② 頻域卷積定理 ③ 傅里葉變換的對稱性 回到本節(jié) 返回 ① 傅里葉變換的周期性： ② 頻域卷積定理： 假設(shè) ， ， 則 交換積分的求和次序，我們同樣能夠得到 該定理表明在時(shí)域兩序列相乘，轉(zhuǎn)換到頻域服從卷積 關(guān)系。 )()()( njxbxnx ir ??)(nxr???????nnjrr enxnxFT?)()]([)( ?je eX)(nxi)( ?jo eX返回 回到本節(jié) 這樣 式中 這樣我們能夠得到結(jié)論： 一般序列的傅里葉變換分成共軛對稱分量和共軛反對稱 分量兩部分，其中共軛對稱分量對應(yīng)序列的實(shí)部，而共 軛反對稱分量對應(yīng)這序列的虛部（包括 j）。 )()()]()([)( ??? jIjRoej ejXeXnxnxFTeX ????返回 回到本節(jié) 時(shí)域離散信號的 Z變換 在模擬系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，而拉普拉 斯變換是傅里葉變換的推廣，用于對信號在復(fù)頻域的分 析。 Z變換存在的充分條件 為 ???????nnznxzX )()(??? ????????????nnnn znxznx )()(返回 回到本節(jié) Z變換的收斂域?yàn)? 使 Z變換存在的 的取值域，稱為 X(z)的收斂域。 zRe [ z ]Im [ z ]xR?0收斂域是 Z變換非常重要不可缺少的一部分 回到本節(jié) 返回 Z變換和傅里葉變換之間的關(guān)系 Z變換 令上式中的 ，得到 式中， r是 z的模， ω是它的相位，也就是數(shù)字頻率。 回到本節(jié) 返回 Z變換的收斂域與序列特性之間的關(guān)系 序列可以分為 有限長序列 、 右序列 、 左序列 以及 雙邊序 列 等四種情況，它們的收斂域各有特點(diǎn)，掌握這些特點(diǎn) 對分析和應(yīng)用 Z變換很有幫助。 第二項(xiàng)為因果序列的 Z變換，其收斂域?yàn)?Rx|z|≤∞ 。 左序列的 Z變換為 式中， n1≥0 。 雙邊序列的 Z變換 ??? ????????????? ???01)()()()(nnnnnn znxznxznxzXR e [ z ]I m [ z ]xR ?0xR ?回到本節(jié) 返回 上式中： 右邊第一項(xiàng)是左序列的 Z變換，收斂域是 0≤ |z|Rx+， 第二項(xiàng)是右序列的 Z變換，收斂域?yàn)?Rx|z|≤∞ ， 將兩個(gè)域相與，得到雙邊序列的收斂域?yàn)?Rx|z|Rx+。 ( ) ( )nx n a u n?10( ) ( ) ( )n n nnnX z a u n z a z????? ? ? ?????10nnaz??????1 1az? ?za?11()1Xz az ?? ? za?za?回到本節(jié) 返回 例 ：求