高等代數(shù)張禾瑞版教案-第4章線性方程組-wenkub
2023-05-02 13:05:09 本頁面
【正文】 行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一個(gè)對應(yīng)的行初等變換，而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡它的增廣矩陣。一個(gè)行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表。3) 用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程.我們把這三種變換叫做線性方程組的初等變換.由初等代數(shù)知道,以下定理成立. 初等變換把一個(gè)線性方程組邊為一個(gè)與它同解的線性方程組.2 矩陣： 利用線性方程組(1)的系數(shù)可以排成如下的一個(gè)表:(3) ,而利用(1)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成下表:(4) .定義1 由st個(gè)數(shù)c排成一個(gè)s行t列的表叫作一個(gè)s行t列（或s180。設(shè)方程組: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1。第四章 線 性 方 程 組 消元法教學(xué)目的：掌握線性方程組的和等變換，矩陣的初等變換等概念。 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2。t）矩陣。我們把矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。因此我們將要通過化簡急診來討論化簡線性方程組的問題。因此我們先來研究，利用三種初等變換來化簡一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣的問題。先化為 然后進(jìn)一步化為 對于任一線性方程組的系數(shù)矩陣來說，我們一般不能它化為這樣簡單的形式。必要時(shí)交換矩陣的行和列，可以使這個(gè)元素位在矩陣的左上角。把b換到第二行第二列的交點(diǎn)的位置，然后用與上面同樣的方法，可把B化為 。240。由于方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換 未知量的位置而得到，（8）與方程組（1）有相同的解。Rm,而，….. 不全為零。R=m或Rm而，….. 全為零，這時(shí)方程組（8）與方程組 ++….+=++….+=(9) …………………………………….. ++….+=同解。由于kir+1,……， kin可以任意選取，用這一方法可以得到（1）的無窮多解，另一方面，由于（9）的任一解都必須滿足（10），所以（9）的全部解，即（1）的全部解都可以用上方法解得。 能用矩陣的秩判定線性方程組是否有解以及有多少個(gè)解。定義2 一個(gè)矩陣中不等于零的子式是最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩。 顯然，只有當(dāng)一個(gè)矩陣的元素都是零時(shí)，這個(gè)矩陣的秩才能是零。證 我們先說明以下事實(shí)：若是對一個(gè)矩陣A施行某一種行或列初等變換而得到矩陣B，那么對B施行同一種初等變換又可以得到A。 設(shè)把一個(gè)矩陣A的第j行乘以數(shù)k 加到第I行而得到矩陣B： ………… ………………… ai1……ain a i1+kaj1 …ain+kajn A=……………, B= …………………aj1……ajn aj1 ajn ……………… 并且A的秩是r。(ii) D含第I行的元素，也含第j 行的元素，這時(shí)，,得 ………………………… ……………… ait1+kajt1…aits+kajts =D1+KD2， ……………………這里 ………………… ………… D1= ait1 … aits D2= ajt1 … ajts ………………… …………由于D1是矩陣A的一個(gè)s階子式，而D2與A的一個(gè)s階子式最多差一個(gè)符號，所以這兩個(gè)行列式都等于零，從而D=0。 這樣我們就證明了，秩A=秩B，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩。 利用初等變換把化為1 0…0 +1…c1n d1
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