淺談多項(xiàng)式因式分解的方法-wenkub
2023-04-24 02:46:37 本頁面
【正文】 代數(shù)中已經(jīng)證明了數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)的每一個(gè)＞次多項(xiàng)式都可以分解成這個(gè)多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)不可約多項(xiàng)式的乘積，并且表達(dá)式唯一（因式次序及零次因式的差異除外）。１ 求根法（參見文獻(xiàn)）設(shè)多項(xiàng)式=是整系數(shù)多項(xiàng)式，第一步 寫出首項(xiàng)系數(shù)的全部因數(shù)，；第二步 寫出常數(shù)項(xiàng)的全部因數(shù)，；第三步 用綜合除法對試驗(yàn)，確定的根；第四步 寫出的標(biāo)準(zhǔn)分解式。= =.例2 求=在有理數(shù)域上的因式分解式。解 的首項(xiàng)系數(shù)1的因子有，常數(shù)項(xiàng)4的因子有，故的根有可能是，將其代入逐一檢驗(yàn)，得出1和4是的有理根。解 由， ，得 ，所以的不可約因式為.但是 ，由重因式定理，是 的4重因式，所以 .例5 求多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解 由易見，=，又因?yàn)?，所以 .５ 利用行列式的性質(zhì)（參見文獻(xiàn)）在高等代數(shù)中，行列式是一個(gè)較好的工具， =，由此啟發(fā)，可以將一個(gè)多項(xiàng)式F表示成2個(gè)新的多項(xiàng)式的差，而每個(gè)新的多項(xiàng)式又可表成2個(gè)多項(xiàng)式的乘積，即F=MNPQ，也即是F=,這樣就把多項(xiàng)式F轉(zhuǎn)換成二階行列式的形式，然后再對這個(gè)二階行列式進(jìn)行初等變換，提出因式。下面介紹一種比較一般的方法。n次單位根是。解 因?yàn)?，所以先求在?shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。因?yàn)椋渲袨?的次單位根。例11 在實(shí)數(shù)域上分解多項(xiàng)式.解 把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程 .用換元法,令，有，代入得 ，即，解之得 .于是 或 ，解之得 ， .所以 == .９ 與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等且最高次是奇數(shù)的多項(xiàng)式的因分解方法（參見文獻(xiàn)）這種多項(xiàng)式的特點(diǎn)是1是它們的根。設(shè)這種多項(xiàng)式為，=，再對進(jìn)行因式分解。又由綜合除法，得 2 1 3 8 12 2 2 122 1 1 6 02 21 1 8可見，2是單根。我們猜想此多項(xiàng)式的分解式可能是三個(gè)一次因式的乘積，也可能是一個(gè)一次因式與一個(gè)二次因式的乘積，再通過特例來進(jìn)行演繹以驗(yàn)證猜想的合理性。例17 將多項(xiàng)式在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。其中方法一（求根法）：書寫簡潔，思路清晰，不容易出錯(cuò)，但它必須建立在多項(xiàng)式有有理根的基礎(chǔ)上，且若多項(xiàng)式需要檢驗(yàn)的因子很多，而每個(gè)因子都要做一次相應(yīng)的除法，這就給計(jì)算增加了一些麻煩，所以當(dāng)可能的有理根比較少時(shí)采用綜合除法；方法二（待定系數(shù)法）：比較基礎(chǔ)，也比較直接，但會涉及求解方程組，計(jì)算量往
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