【正文】 21 2 1220 0 011 20214 1 421244224 4 2 8 2 2 12xzD zxxtxyyS dx dz dx dzxz xxxdx dz dxx x x xdx t dttx?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ???? ? ? ? ? ???? ??? ? ??? 另外，還可以求出柱面圍的錐面面積如下： 由于對(duì)稱性，所求錐面面積為 上半平面的 2 倍， 對(duì)于上半平面，錐面方程為 22z x y??，故有（在 xoy 平面投影） 22222 2 2 21 1 2z z x yxy x y x y? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ???? ? ? ? ? 所以所求的曲面面積為 ? ? ? ?22221 1 1 12 1 2 2 2 2x y x yzzS d x d y d x d yxy ?? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ???? ?? 【例 3】求曲面 2 2 2x y a??被平面 ? ?0 , 0 0 , 0x z x z x y? ? ? ? ? ?切除的那部分的面積。 解： 引入球體坐標(biāo)系? ?? ?? ?, sin c o s, sin sin, c o sxryrzr? ? ? ?? ? ? ?? ? ??????? ?? ? ? ? ?? ?22 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 22 2 2 2 222222002 0 si n si n 2c os 2c os si n 2 , si nsi n 2si n4 si n4DDx y z a x y a r ar a r aS EG F dudv r r r rd daa d d?????????? ? ??? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ????? ???? 【例 6】求柱面 22331xy??被球面 2 2 2 1x y z? ? ? 割下部分的曲面面積 。 證明： 記 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1, , , , , , , , 1m m mA B R B R A? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 1121 , , , , 1 1 = , , , AmmBmR A m R B R A mR B m R A R B m? ? ? ?? ? ??????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?線 性 相 關(guān)線 性 無 關(guān)故 線 性 相 關(guān) 。 ） 評(píng) 注 對(duì)此類定理的掌握 不能只局限于理論證明，更重要的是需要找到直觀解析或幾何圖案。 證明： m 個(gè) n 維向量 ? ?12, , , m? ? ? 構(gòu)成矩陣? ?12, , , n m mA ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1212, , , , , , n m mnm mAR A n R A m m? ? ?? ? ?? ??? ? ???? ? ? 個(gè) 向 量 線 性 相 關(guān) 。 （坐標(biāo)數(shù)指單個(gè)向量的維數(shù)） 定 理 3 設(shè) n 維向量組 ? ?12, , , rA ? ? ?? ，12iiinixxx??????????????為 n 維坐標(biāo)； n 維向量組 ? ?12, , , rB ? ? ?? 為增加 i? 的坐標(biāo)維數(shù)得到的（稱為 導(dǎo)出組或延伸組 ），即121innnsxxxxx??????????????????????????，則 （ 1） ? ?12, , , rA ? ? ?? 無關(guān) ?導(dǎo)出組 ? ?12, , , rB ? ? ?? 無關(guān)； （ 2）導(dǎo)出組 ? ?12, , , rB ? ? ?? 相關(guān) ? ? ?12, , , rA ? ? ?? 相關(guān)。 定 理 6 向量組 A 能由向量組 B 線性表示 ? ?AB? ， 若 B 不能由 A 線性表示，則 0A? 。 證明：設(shè) Am n n lBC??? ，依題意， ? ?R A n? ，知 A 的標(biāo)準(zhǔn)型為0n mnE ???????，并有： m 階可逆矩陣 P ，使 ? ? ? ? ? ? ? ?00 0 000nnCE E BP A P C P A B BBR C R P C R R B R B?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ????? 令 定 理 8 若 AB E? ，則 B 的列向量線性無關(guān)。 第二，要明白秩是用子式（方陣）是否為零來定義的，所以矩陣 A 的秩等于矩陣的行秩也等于列秩，要明白單個(gè)向量的維數(shù)（坐標(biāo)空間的維度）和向量組的維數(shù)（任意矢量 r 的分量個(gè)數(shù)）是兩個(gè)不同的概念。 ● 輪換對(duì)稱性實(shí)例 ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 10 , 0 0 , 02 2 2 2 2 221144221 023 3 3 x y x y x y x yx y x yx y x ya b a bI a x b y dx dy x y dx dy x y dx dy a b x dx dyx y x y y xI dx dy dx dyx y x y y x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ?? ???? ??二、 二重積分次序選擇原則與 積分次序的更換方法 陳氏穿線法【原創(chuàng)】 后積先定常數(shù)限， 先積方向正直穿； 相交必須同一線， 否則域內(nèi)要分拆； 隱含邊界須周全， 6 類對(duì)稱掛耳邊； 極坐標(biāo) ? 逆弧線， 多種邊界同園拆。 【例 3】 更換積分次序 ? ? ? ?2120122 , 00xxxI dx f x y dy dx f x y dy????? ? ? ? 解： 1 201: 02xDy x x?????? ? ??? 及 2 12: 02xD yx???? ? ? ?? 作 12DD和 圖形，得： ? ?2120 1 1 , y yI dy f x y d x???? ?? 【例 4】 交換積分次序 ? ? ? ?22 8 812,xxxI d x f x y d y d x f x y d y??? ? ? ? 解： 1 212xD x y x???? ??? 2 288xD xy???? ??? 畫出 12,DD圖形，得： ? ? ? ?481 4 2,yyyI d y f x y d x d y f x y d x??? ? ? ? 【例 5】更換積分次序 ? ?2 s in00 , xI dx f x y dy?? ?? 解： ? ? ? ?1 a r c s in 0 2 a r c s in0 a r c s in 1 a r c s in, , yyI d y f x y d x d y f x y d x?? ??? ????? ? ? ? 【例 6】更換積分次序 ? ?2 c o s204 ,aI d f d? ?? ? ? ? ??? ?? 解：如改為先 ? 后 ? 則有下列兩點(diǎn)技巧 ① D 的邊界曲線全都用極坐標(biāo)表示 ② 若以原點(diǎn) o 為圓心的一系列同心圓與 y 區(qū)域 D 的邊界曲線中的不同曲線相交，則應(yīng)在交點(diǎn)處用逆時(shí)針園弧線 2a?? 把 ? 的區(qū)間分為兩個(gè)正規(guī)區(qū)域： 12a r c c o s a r c c o s a r c c o s2 2 2 2 0 2 2 2a a aDDa a a? ? ? ???????? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ?2 c o s 2 c o s2202 c o s42,a a r c a a r caa a a r c aI d f d d f d????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? 三、換元法技巧 以盡可能簡(jiǎn)便 D 為出發(fā)點(diǎn)，再參考 ? ?,f x y z 的特征。 123312 2 2 201[ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]2 5DDxxDI x y f x y d x y f x y dx d x dx dy??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ? ? 【例 10】 計(jì)算 22( 2 s in 4 4 )DxyI x y dpq ?? ? ? ? ??? 2 2 2:D x y a?? 解：由于 D 關(guān)于 X， Y 輪換對(duì)稱性，故 22( 2 s in 4 4 )DxyI x y dpq ?? ? ? ? ??? 中被積函數(shù)又可以輪換，積分值不變 又由于 D 關(guān)于 X， Y 軸均對(duì)稱，故 2 sin 0D xd????? 40D yd???? 2 2 2 22 2 222200421( ) 421 1 1 ( ) ( ) 421 1 1 ( ) 4211 ( ) 44DDDax y y xI d dp q p qx y d apqr d r apqaapq????????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?????? 【例 11】設(shè)二元函數(shù) ? ?222, 1, 1 , 1 2x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ??， 計(jì)算二重積分? ?,D f x y d??? ，其中 ? ?? ?, | 2D x y x y? ? ?。 ● 常用結(jié)論 2 2 22204 c o s s in20 當(dāng) 和 沒 有 一 個(gè) 為 奇 數(shù) 當(dāng) 和 至 少 有 一 個(gè) 為 奇 數(shù)mn mnmnx y aa d m nxy mnmn? ? ? ???????? ???????? 【例 13】計(jì)算 ??a ? ?2212 2210 1 1xxxI d x x y d y??????? ??b ? ? ? ?2220 4 2 42 2 2 222 0 2xxx x xI d x x y d y d x x y d y??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??c 設(shè) ? ?, f x y 在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上為零，試證明： ? ?2 2 2 220 110 , 0 l im 2 xyxyx f y ff dx dyxy? ???? ? ? ????????? 解： ??a 積分區(qū)域?yàn)椋?201:1 1 2xDx y x x?????? ? ? ? ??? 顯然本題適合用原點(diǎn)極坐標(biāo)， 22c o s 1 1 2 sin 2 , sin 42 2 c o sx r y x ryr y x x r?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ?????? ??? ??? ? ? ? ??? 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 由對(duì)稱性 ⑤ 知： 122 s in2 3 4441 0 0 02 2 8 si nDI r rd r d r d r d???? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 244001 c os