線性代數(shù)總結(jié)匯總經(jīng)典例題-wenkub
2023-04-09 07:09:04 本頁面
【正文】 和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。|B|（3）|AT|=|A|（4）|A1|=|A|1（5）|A*|=|A|n1（6）若A的特征值λλ……λn，則 （7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則 1克萊姆法則：（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數(shù)行列式必為0（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。A1（3）|A1|=|A|1（4）（AT）1=（A1）T（5）（A1）1=A逆的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A1）（三）矩陣的初等變換初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數(shù)c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（B）（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}（4）r（kA）=r（A）（k≠0）（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）設(shè)A是mn階矩陣，B是ns矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n1秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣1伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）（1）AA*=A*A=|A|E → ★A*=|A|A1（2）（kA）*=kn1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A|n1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A1）*=（A*）1=A|A|1（7）（A*）*=|A| n2★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）線性表示的充分條件：（了解即可）若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，α1，α2，…，αs，β線性相關(guān)，則β可由α1，α2，…，αs線性表示?！鷕（β1，β2，β3）=3 ←→ r（C）=3 ←→ |C|≠0（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩1極大線性無關(guān)組不唯一1向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個數(shù)成為向量組的秩對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)★注:向量組α1，α2，…，αs 的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★1極大線性無關(guān)組的求法（1）α1，α2，…，αs 為抽象的：定義法（2）α1，α2，…，αs 為數(shù)字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣則每行第一個非零的數(shù)對應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組（五）向量空間1基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：若α1，α2，…，αn 與β1，β2，…，βn 是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cnn其中，C是從基α1，α2，…，αn 到β1，β2，…，βn 的過渡矩陣。變式：①η1η2，η3η2，…，ηsη2②η2η1，η3η2，…，ηsηs1（三）基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系定義：（1）ξ1，ξ2，…，ξs 是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs 線性相關(guān)（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示→基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組注：基礎(chǔ)解系不唯一。|λEA |=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）?！骺偨Y(jié)：特征值與特征向量的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解特征方程法：（1）解特征方程|λEA|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數(shù)，不能省略)（2）解齊次方程（λiEA）=0，得屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共nr（λiEA）個解）性質(zhì)：（1）不同特征值的特征向量線性無關(guān)（2）k重特征值最多k個線性無關(guān)的特征向量 1≤nr（λiEA）≤ki（3）設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=
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