【正文】 , 為其轉(zhuǎn)置伴隨矩陣, 證明:(1)若, 則(2) .(1)設(shè),則. 如果的第一行元素全為零, 則, 于是. 假設(shè)的第一行元素不全為零, 例如, 作如下行初等變換, 得.現(xiàn), 因此.(2)一般地, , 但. 于是. 從而, 若, 立刻得到. 而若, 由(1)知仍成立. 設(shè), 利用分塊矩陣的乘法, 計算. 若, 證明: .. (選擇題) 設(shè)A, B為n階方陣, 則成立.(A) (B)(C) (D)(A)的反例: , 除非.(B)的反例: 若, 則.(D)的反例: .(C)是成立的, 因為., 求.或 設(shè)為階方陣, 求證可逆, 并寫出逆矩陣的表達式.\可逆, 且.,其中可逆,求. 設(shè)A為m階方陣, B為n階方陣, detA = a, detB = b, C =, 求detC.利用拉普拉斯定理:()在n階行列式中任取k行(列), 則由這k行(列)的元所組成的所有的k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積之和, 等于行列式的值.在中取所在的行, 所得的階子式只有一個不等于零, 就是. 而的余子式是, 代數(shù)余子式是, 其中注意到是偶數(shù). 于是.,求.注:矩陣或不要用行列式符號:利用第24題的結(jié)論 計算下列n階行列式(1) (2) (3) (1)同第14(3)題.(2)(2)按第一列展開(3),求.注:.(可逆)矩陣,其轉(zhuǎn)置伴隨陣為(或),求或 習(xí)題二 討論下列向量組的線性相關(guān)性(1) (2) (3) (4) (1) 可見, 故向量組線性相關(guān).(2) 可見, 故向量組線性無關(guān).(3) 可見, 故向量組線性相關(guān).(4)可見, 故向量組線性相關(guān).解法二 現(xiàn)有個維, , 所以給出的向量組線性相關(guān). 任意個維向量線性相關(guān). 求下列矩陣的秩(1) (2) (3)(1) 可見秩.(2) 可見秩.或(3) 求解下列齊次線性方程組(1) 。線性相關(guān). 線性無關(guān)222。(2)當(dāng)時,線性無關(guān).(3)現(xiàn). 設(shè)可表示為的線性組合:, 即.則有線性方程組,或.,得. 于是.的解都是的線性組合.方程組與是同解方程組, 它們的基礎(chǔ)解系相同, 從而它們的系數(shù)矩陣的秩相同, 即向量組和向量組有相同的秩:.設(shè)是的一個極大無關(guān)組, 則是向量組中的個向量, 因而是線性相關(guān)的. 所以可由線性表示, 從而可由線性表示.　若向量組線性無關(guān), 而向量組線性相關(guān). 則向量可以由向量組線性表示.有解的充要條件是.方程組有解219。距離為.(3)向量與的夾角為.(4)向量組經(jīng)施密特方法正交規(guī)范化為得到的已經(jīng)是單位向量, 為所求的正交規(guī)范組.(5)的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組, 滿足.解得(1)設(shè),則與的距離為.(A)81 (B)9 (C)7 (D)8(2)設(shè)維向量和的模分別是6和9, 與的距離是12, 則與的夾角的余弦為.(A) (B) (C) (D).:,(3)設(shè)是階方陣, 則下列4個式子中表明是正交矩陣的式子為.(A) (B) (C) (D).(4)設(shè), 若與是同方向的向量, 且,.(A) (B) (C) (D).等于方向上的單位向量的倍:.(5)設(shè)和是維向量, 則等式成立的充分必要條件是.(A) (B) (C) (D)., 其中, 試問為何值時, 距離取最小值?令, 則.當(dāng)時,取得最小值, 而距離取最小值, , 試證.現(xiàn)n是奇數(shù), , 故,于是.,(1)驗證線性變換是正交變換.(2),求。 A的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組, 即習(xí)題四(1) (2) (3) (4) (5)(1)解特征方程,得特征值.對于特征值, 解齊次線性方程組. 其系數(shù)矩陣,可見特征向量為.對于特征值, ,可見特征向量為.(2)解特征方程得特征值.對于特征值, 解齊次線性方程組. 其系數(shù)矩陣,可見特征向量為(不全為0).(3)解特征方程得特征值.對于特征值, 解齊次線性方程組. 其系數(shù)矩陣,可見特征向量為.對于特征值, .可見特征向量為(不全為0).(4)特征值.對于, , 特征向量.對于, . 特征向量(不全為0).(5)特征值.對于, , 特征向量.對于, . 特征向量.對于, . 特征向量., 求的值, 并求其特征向量.對,(k1, k2不全為0).注:基礎(chǔ)解系不是唯一的.對, 其中, 試求的特征值及.得的特征值.的特征值:故., 試求.設(shè)是的特征值, 則是的特征值.的特征值有. 于是:若, 則的特征值只能是1或2.設(shè)是的特征值, 則是的特征值. 現(xiàn), 而零矩陣的特征值都是0. 于是的特征值必須滿足, 即或., 試證的特征值只能是或.的特征值滿足. 于是., , 試證不可能是的特征向量.用反證法. 假如不可能是的特征向量, 則有使得但分別是對應(yīng)于的特征向量, 有從而: ., 于是有或. 但是對應(yīng)于不同特征值的特征向量, 因而是線性無關(guān)的, 故或。 (2)的正慣性指標(biāo)為。3,4,3],B=[1,1,1。n=3。B=[2 1。3 1]。1 1 1 1。3 1 1 0。17 18 40 10。0 0 1 3 6。2 3 1 1。r39。 pretty(X) [2 k1 2 k2] [ ] [ k1 + k2 ] [ ] [ k1 ] [ ] [ k2 ]. A=[2 7 3 1。 rank(A)ans = 2 rank([A,b])ans = 2 X=A\bX = 2/11 10/11 0 0 C=null(A,39。2 5a 4。A=[2a 2 2。 rank(A)ans = 2 rank([A,b])ans = 3增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩不相等, 方程組無解. 求下列矩陣的特征值和特征向量.(1) (2) (1) A=[5 6 3。2 1 3。特征值, 特征向量. 求下列向量組的一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. a1=[2 1 3 1]39。 A=[a1,a2,a3,a4]。2 4 2。 y2。2 2 2。0 1 3]。 指令之間的分隔符 。 eig(A) .。 利用MATLAB函數(shù)和語句創(chuàng)建數(shù)值矩陣 。T=sym(C),D T = [ 0,