小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型-wenkub
2023-04-08 03:09:53 本頁面
【正文】 特殊點法．找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： ．【鞏固】在邊長為6厘米的正方形內(nèi)任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影部分面積． 【解析】 （法1）特殊點法．由于是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法，假設(shè)點與點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米．（法2）連接、．由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米．【例 3】 如圖所示，長方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 ．【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進而求出四邊形的面積．由于長方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為．另解：從整體上來看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為．【鞏固】如圖，長方形的面積是36，是的三等分點，則陰影部分的面積為 ． 【解析】 如圖，連接．根據(jù)蝶形定理，所以；，所以．又，所以陰影部分面積為：．【例 4】 已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積．(丙是三角形)【解析】 因為、分別為三邊的中點，所以、是三角形的中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200．根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有，即，所以．又，所以．【例 5】 如圖，已知，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是 ． 【解析】 連接，．根據(jù)題意可知，；；所以，于是：；；可得．故三角形的面積是40．【例 6】 如圖在中，分別是上的點，且，平方厘米，求的面積． 【解析】 連接，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 ．【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 連接．∵ ∴又∵∴，∴．【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【解析】 連接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【例 7】 如圖在中，在的延長線上，在上，且，平方厘米，求的面積． 【解析】 連接， ，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比【例 8】 如圖，平行四邊形，平行四邊形的面積是， 求平行四邊形與四邊形的面積比． 【解析】 連接、．根據(jù)共角定理 ∵在和中，與互補，∴．又，所以．同理可得，．所以．所以．【例 9】 如圖所示的四邊形的面積等于多少？【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為的兩條邊重合，此時三角形將旋轉(zhuǎn)到三角形 ，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長為的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此，原來四邊形的面積為.(也可以用勾股定理)【例 10】 如圖所示，中，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積． 【解析】 如圖，將沿著點順時針旋轉(zhuǎn)，到達的位置．由于，所以．而，所以，那么、三點在一條直線上．由于，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為．根據(jù)面積比例模型，的面積為．【例 11】 如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，、交于．已知、的長分別為、求三角形的面積． 【解析】 如圖，連接，以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)到的位置．那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且，所以梯形的面積為：()．又因為是直角三角形，根據(jù)勾股定理，所以()．那么()，所以()．
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