【正文】 ___________．（第二問(wèn)：如果點(diǎn)P到OP“所平分的角”的兩邊的距離相等，即可?！嗨倪呅蜰OMP中，∠NPM=90176。（如圖2），判斷以M，E，N，D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．圖2第一問(wèn)，連接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜邊中線等于斜邊一半得，ME=MD，NE=ND，所以點(diǎn)M、N都在線段ED的垂直平分線上。∴∠BAD=∠ABD=45176。．∴四邊形MEND是正方形． （6分）如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)結(jié)BP、BH。m，所以∠BPH=∠PBC，又因?yàn)椤螦PB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。（1）證明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90176?！唷螦PB＝∠BPH。又∵∠C＝∠BQH＝90176。在Rt△PDH中，即，解得，∴PH＝（6分）（6分）如圖，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB＝CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC＝60176。證明：如圖聯(lián)結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)HF、HE， ∵F是AD的中點(diǎn)，∴∠1＝∠3?！唷?＝∠EFC＝∠AFG＝60176。即△AGD是（特殊）直角三角形。最終得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，從而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。；M到CD的距離也就是Rt△DMC斜邊的高M(jìn)N，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，） 證明：（1）延長(zhǎng)DM，CB交于點(diǎn)E．（如圖3）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠BEM．圖3∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，∴AM=BM．在△ADM與△BEM中，∠ADM=∠BEM， ∠AMD=∠BME， AM=BM，∴△ADM≌△BEM． ∴AD=BE=，DM=EM．∴CE=CB+BE=．∵CD=，∴CE=CD． ∴CM⊥DM． 圖4解：（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)N，F(xiàn)．（如圖4）∵CE=CD，DM=EM， ∴CM平分∠ECD． ∵∠ABC= 90176?！嗨倪呅蜛BFD為矩形．∴BF= AD=，AB= DF． ∴FC= BC－BF =． ∵Rt△DFC中，∠DFC=90176?！拷猓海?）∵矩形OABC中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，圖6 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則； 若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則；若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則．①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即時(shí)，（如圖6） ∵點(diǎn)E在直線上，圖7當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴． ②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即時(shí)，（如圖7） ∵點(diǎn)D，E在直線上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴ ． 綜上可得：圖8（2）DM=ME=EN=ND．證明：如圖8．∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形，∴CB∥OA， C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形O′A′B′C′，∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四邊形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND． （3）答：?jiǎn)栴}（2）中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為 2. 5 ． 1探究問(wèn)題1 已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE=DF，則的值為_(kāi)____． 拓展問(wèn)題2 已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過(guò)點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE=DF．推廣問(wèn)題3 如圖3，若將上面問(wèn)題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（第三問(wèn)，取BM和AM的中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，）122某區(qū)的模擬題與此高度相似，圖9問(wèn)題1 的值為 1 ． 問(wèn)題2 證明：如圖9．∵CB=CA，∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC，∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC， 即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AFM=∠BEM=90176。第一問(wèn)，證全等即可得AE=BF，AF=DE。 1如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BEAB），連接EG并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，MN交BD于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1?！郉B∥ME?！郈G=CM=BN=1－x。1將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕， △CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對(duì)稱軸EF折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形（其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無(wú)縫隙、 無(wú)重疊的矩形），我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出折痕；（2）如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個(gè)斜△ABC，使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；（3）如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是　 ．解：（1） ………………………………………………2分 （說(shuō)明：只需畫出折痕．）（2）（說(shuō)明：只需畫出滿足條件的一個(gè)三角形；答案不惟一，所畫三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等即可．）（3）三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等 1考考你的推理與論證（本題6分）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于，且，連結(jié)．（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．難度一般解（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.∵AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中點(diǎn)．（2）四邊形AFBD是矩形，∵AB=AC，是的中點(diǎn),∴AD⊥BC第四問(wèn)，AB=AC，且底邊上的高是BC的3/2倍時(shí)是正方形。以EF為一邊在EF的下方做△G1EF≌△GFE