【正文】 3 4 5 n其中 m為正整數(shù) ? ?nx擴(kuò)展了 m倍 。 ?????nkkxny )()(34 copyright169。趙越 (折迭 ) 如果有 ,則 是以 n=0為對(duì)稱軸將 x(n)加以翻褶的序列 ? ?nx ? ?nx ?2 1 0 1 2 1/8 1/4 1/2 1 x(n) n 1 0 1 2 x(n) 1 1/2 1/4 1/8 2 n 31 copyright169。 )(nxLNS ??02?? NLSLN ?（ 3） 為無(wú)理數(shù)，則 不是周期 序列。趙越 則 周期序列，周期為 N )(~ nx??????? nNnxnx ),(~)(~ 如果 對(duì)模擬周期信號(hào)采樣后得到序列，未必是周期序列！ )22c o s ()c o s ()( 00 ?????? ???? nAnAnx例如，模擬正弦采樣信號(hào)一般表示為 式中， 是取樣頻率； 是模擬周期信號(hào)頻率。 )c os ()( ?? ?? nAnxA ?? ?24 copyright169。趙越 23 copyright169。 21 copyright169。趙越 ? ? ? ? nTAnTxnx ss ??? s i nsT???定義數(shù)字頻率 ? ? nAnx ?s in?則得到 ? ? tAtx ?? s in與模擬正弦信號(hào)對(duì)比 正弦序列表達(dá)式中的 與正弦波表達(dá)式中的 ，位置和作用類似，因此將 ?? 定義模擬（角）頻率，單位是 rad/s， 單位是 rad ?? 定義數(shù)字頻率，單位是 rad， 單位是 rad t?n?20 copyright169。正弦波的周期為 ,它的倒數(shù)是模擬頻率 ，單位是赫茲。復(fù)振幅的幅角 是 初相 。趙越 實(shí)指數(shù)序列 1?an? ?nx1 0 1 2 3 1 序列發(fā)散 n10 ?? a? ?nx1 1 0 1 2 3 序列收斂 16 copyright169。趙越 R4( n )0 1 2 31n 矩形序列 RN(n)=u(n)u(nN) 14 copyright169。趙越 單位階躍序列 u(n) ??????0,00,1)(nnnu 它類似于模擬信號(hào)中的單位階躍函數(shù) u(t)。 8 copyright169。 ? ?...,)1()0()1(..., xxx ??x7 copyright169。趙越 離散時(shí)間信號(hào) — 數(shù)字序列 在離散時(shí)間系統(tǒng)中，信號(hào)要用 離散時(shí)間的數(shù)字序列 來(lái)表示。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) ：輸入和輸出都是 連續(xù) 時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)。 數(shù)字信號(hào) ：時(shí)間離散、幅度也離散的信號(hào)。 3 copyright169。第 2章 離散時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間系統(tǒng) 趙 越 . 2 copyright169。趙越 連續(xù)時(shí)間信號(hào)：信號(hào)在整個(gè)連續(xù)時(shí)間 集合上都是有定義的。 幅度都可以是連續(xù)的，也可以是離散的。 離散時(shí)間系統(tǒng) ：輸入和輸出都是 離散 時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)。 如果將一個(gè)數(shù)字序列 的第 個(gè)數(shù)字表示為 （ 為整數(shù)，表示離散時(shí)間），那么離散時(shí)間信號(hào)可簡(jiǎn)單表示為： 只有當(dāng) 為整數(shù)時(shí)，序列 才有一定的數(shù)值，而對(duì)于非整數(shù)的 ， 是沒(méi)有定義的。趙越 常用的幾種離散時(shí)間信號(hào)的基本形式： 單位取樣序列 δ(n) ??????0,00,1)(nnn? 單位取樣序列也可以稱為 單位沖激序列 ，特點(diǎn)是僅在 n=0時(shí)取值為 1，其它均為零。趙越 － 1 0 1 2 31nδ ( n )δ ( t )t0( a ) ( b )單位取樣序列 單位沖激信號(hào) δ(t) 在 t=0時(shí)，脈寬趨于零，幅度趨于無(wú)限大，面積為 1。 11 copyright169。趙越 x(n)=anu(n)， a為實(shí)數(shù) 如果 |a|1， x(n)的幅度隨 n的增大而減小，稱 x(n)為 收斂序列 ； 如 |a|1，則稱為 發(fā)散序列 。趙越 n01 ??? a0 ? ?nx1 1 3 2 1 0 1 2 3 4 1??an? ?nx序列正、負(fù)擺動(dòng) 17 copyright169。 ??18 copyright169。角頻率和頻率之間的關(guān)系是 。趙越 又被稱為歸一化頻率。趙越 ?????????ff s??2上式還可以改寫成 表示每秒對(duì)正弦波取樣的點(diǎn)數(shù)； 表示正弦波每秒周期性重復(fù)的次數(shù)； 表示正弦波每個(gè)周期內(nèi)取樣點(diǎn)的數(shù)目。趙越 正弦型序列定義為 式中， 為幅度， 為數(shù)字域頻率它表示序列變化的 快慢速率 ， 為初相， 的單位為弧度。趙越 3 4 5 6 7 0 1 2 8 9 10 11 12 n0cos ?n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n0sin ?n5/0 ?? ?25 copyright169。 sf 0f02??0ffs?02?? sf?T02?? ?27 copyright169。 02?? )c o s ()(0 nnAnx ?? ??)22c o s ()c o s ()( 00 ?????? ???? nAnAnx02??0ffs?28 copyright169。趙越 ? ?? ? ? ?? ?mnxnz ??移序或移位 0?m ? ?nx0?m ? ?nxmm 位 逐項(xiàng)左移（超前） 位 逐項(xiàng)右移（延時(shí)） 32 copyright169。趙越 前向差分（先左移后相減） 后向差分（先右移后相減） )()1()( nxnxnx ????)1()()( ???? nxnxnx35 copyright169。 序列每點(diǎn)加 m1個(gè) 零值點(diǎn) 形成的，即時(shí)間軸 是 例 m=2時(shí) 37 copyright169。運(yùn)算關(guān)系 滿足不同條件，具有不同的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)著不同的系統(tǒng)。 ? ?)()( nxTny ?)(nx)(ny ??T 因此，系統(tǒng)可定義為將輸入序列 映射為輸出序列 的 唯一變換或運(yùn)算 ，并用 表示，即 ? 對(duì)變換施加不同的約束條件，可定義出不同種類的離散時(shí)間系統(tǒng)。 a和 b均是常數(shù)。 證 : ? ? )()()()( 2121 nbynaynbxnaxT ???42 copyright169。 44 copyright169。趙越 ?這類系統(tǒng)的一個(gè)重要特性：它的輸入與輸出序列之間存在著 線性卷積關(guān)系 。 推導(dǎo)： 用公式表示為 y(n)=h(n)=T［ δ(n) ］ h(n)和模擬系統(tǒng)中的 h(t)單位沖激響應(yīng)相類似，都代表系統(tǒng)的 時(shí)域特征 換句話說(shuō)， 單位沖激響應(yīng)即是系統(tǒng)對(duì)于 δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 48 copyright169。常用符號(hào) “ *” 表示，即 )(nx)(ny)(nh50 copyright169。 y(n)=x(n)??[h1(n)+h2(n)] x(n) h1(n) h2(n) （ 2）分配律 ? ? ? ? )(*)()(*)()()(* 2121 nhnxnhnxnhnhnx ???53 copyright169。 移位：將 移位 ，得到 。 )(kxk )(kh)( kh ?n )( knh ?)(ny)(kh)( kh ?n n n n)(kx )( knh ?55 copyright169。 )(nx??? x )(例如 ： )(nu)1()( ?? aanx n 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)而言，穩(wěn)定的 充分必要條件 是系統(tǒng)的單位 沖激 響應(yīng) 絕對(duì)可和 ，用公式表示為 ()nhn?? ? ????就不是有界的。趙越 必要性 利用反證法 假設(shè)公式 不成立，即 則對(duì)下式定義的有界輸入序列 系統(tǒng)在 時(shí)刻的輸出為 顯然輸出 是無(wú)界的，這不符合穩(wěn)定的條件，因此假設(shè)不成立，所以 是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 。 所謂因果系統(tǒng) 是指輸出不能先于輸入的系統(tǒng)。 61 copyright169。趙越 ??????????????????????????????11,111)(111aaaaaanhnnnnnnn，由式 ()nhn?? ?????所以 時(shí)該系統(tǒng)穩(wěn)定， 時(shí)該系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于 離散時(shí)間系統(tǒng) ，由于它的變量 n是離散整型變量，所以只能用 差分方程 加以描述。趙越 二階向后差分可用 表示 ?)2()1(2)()()21()()1()( 222???????????nynynynyDDnyDny類似的， 階差分表示為 k)()1()( nyDny kk ???因此按二項(xiàng)式定理將 展開(kāi)后，便可得到 階差分的表示式。 02)()(2 ????? nyny 差分方程 是描述函數(shù)序列差分之間關(guān)系的方程 。趙越 ? 在離散時(shí)間系統(tǒng)中，基本運(yùn)算關(guān)系是 延時(shí)（移位）、 乘系數(shù) 和 相加 ，其基本單元是延遲器、乘法器和加法器。趙越 例 ：離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖，寫出描述該系統(tǒng)的差分方程。 遞推解法 適用于系統(tǒng) 階數(shù)不高 且激勵(lì) 比較簡(jiǎn)單的情況 。 ?????????MrrNkk rnxabknyaany0 01 0)()()( 上式表明，已知 輸入序列 和 N個(gè)初始條件 ，則可以求出 n時(shí)刻的輸出 ；如果將該公式中的 n用 n+1代替，可以求出 n+1時(shí)刻的輸出，因此上式表示的差分方程本身就是一個(gè)適合 遞推法 求解的方程。趙越 但對(duì)于差分方程 ， 其本身也可以向 n0的方向遞推 ， 得到的是非因果解 。趙越 離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng) 的頻域描述 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換 信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時(shí)域 分析方法 頻率 分析方法 77 copyright169。 用 拉普拉斯變換 和 傅里葉變換 將時(shí)間 域數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。 79 copyright169。趙越 通常將以下一對(duì)公式合稱為離散時(shí)間信號(hào)的 傅里葉變換對(duì)： 在物理意義上， 表示序列 的頻譜 ， 為數(shù)字域頻率。 )(?jeX83 copyright169?；谶@種對(duì)稱性，在 范圍內(nèi)的幅度譜和相位譜就足以描述序列的頻譜。趙越 例 ：矩形序列的頻譜， N=10。趙越 例 求下列信號(hào)的傅立葉變換 )10()()( ??? aanuanx n 為實(shí)數(shù)，且解： ????jnnjnnjnjaeaeeaeX??????????? ??11)()(00212 )c os21(1)(??aaeX j???? ? ??? c o s