【正文】 的逆序數(shù)， 12 nP P P? 例如 ， 設(shè)排列 3 2 5 1 4,其逆序數(shù)為： t=1+3+0+1+0=5 當(dāng)我們把上面排列改為 3 1 5 2 4， 相當(dāng)于把 3 2 5 1 4 這個排列的第 4兩個數(shù)碼對換 （ 將一個排列中任意兩個元素對調(diào) ，其余的元素不動 ， 這種作出新排列的手續(xù)叫做 對換 ） 。 從 n個元素中任取一個放在第一個位置上 ， 有 n種取法 ； ? 在從剩下的 n1個元素中任取一個元素 ，放在的第二個位置上有 n1種取法 。 第一章 行列式 ? 本章主要介紹 n階行列式的定義， 性質(zhì)及其計算方法。 ? 既有一定的理論推導(dǎo)、又有大量的繁雜運(yùn)算。線性代數(shù) 課程的性質(zhì) ? 線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論課之一。有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和動手解決問題的能力。此外還要介紹用 n階行列式求解 n元線性方程組的克拉 默 （ Cramer） 法則。依此類推 ， 直到最后剩下一個元素放在最后位置上 ， 只有一種取法； ? 于是： ( 1 ) 3 2 1 !nP n n n? ? ? ? ?2. 逆序數(shù) ? 對于 n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序（例如， n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）。 通過計算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)為 ? t=1+2+0+1+0=4 ? 可見排列 3 2 5 1 4 為 奇排列 ，而 3 1 5 2 4 為 偶排列 ， 可見一個排列中的任意兩個元素 對換 ，排列改變 奇偶性 。 有了 n階行列式的定義 ， 我們就可以計算 n階行列式 ， 在計算幾種特殊行列式的過程中 ， 發(fā)現(xiàn)直接用定義計算是非常麻煩 。 jiij ab ?顯然按定義? ?nji ,2,1, ??D?? ? npppt naaa ?21 211? ??? ? nnppptT bbbD ?21 211? ?? 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。 321421431432432132110214101431043210? 321121411431432110 ??111022203110432110????????1 2022400013003110432122423???????rrrr167。 一 .非齊次線性方程組的克拉默法則 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????????22112222212111212111(1) 設(shè)非齊次線性方程組 njDDx jj ,2,1, ???(3) 則線性方程組 (1)有唯一解 若 (1)的系數(shù)行列式 0212222111211??nnnnnnaaaaaaaaaD???????(2) njDDx jj ,2,1, ???njDDx jj ,2,1, ???.,2,1,2211 nibxaxaxa ininii ?? ?????.,2,1,2211 nibDDaDDaDDa ininii ?? ????? 即證明： 等式成立 證明： 先證 是（ 1）的解， 要證 是（ 1）的解，只須證 明（ 3）滿足（ 1）即可，為此把（ 1）改寫成： nnnjnninijiinjinijiinaaabaaabaaabaaabD????????????????????111111111?? 做 n+1階行列式 顯然 . 把 按第一行展開 .需要求出第一行 每個元素的代數(shù)余子式 .第一行元素 的代數(shù)余子式為 : 01 ??nD 1?nDija所以 022111 ??????? niniiin DaDaDaDbD ?即 的解是這說明 )1(,2,1,2,12211njDDxnibDDaDDaDDajjininii??????????nnjnnjnnnjjjjaabaaaabaa?????????1,1,111,111,11112 )1()1(?????? ???.,2,1)1()1( 12 njDD jjjj ??????? ??nnjnjnnnnjjjijaaaabaaaabA?????????1,1,111,11,111111)1(???????? 再證唯一性 .假設(shè) 也是 (1)的解 .在 (2)兩端同時乘以 njcx jj ,2,1, ???jcnnjnjnnjjjacaaacaaDc???????11111?nnnnnjnjnnnnnjjacacacaaacacacaa???????????)()(11111111111?????????由于 , 所以 故線性方程組 (1)有唯一解 (3). 0?D.,2,1 njDDc jj ???jnnnnnDabaaba?????????11111例 ??????????????????????067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解 : 6741212060311512??????D127702120603113570??????12772121357?????277010353???????? .272733?????8167402125603915181????????D 10 867012150609115822????????D2760412520693118123??????D 2707415120903185124???????D 定理 （ 1）的系數(shù)行列式 D不等于 0, 則 (1)有唯一的解 . 定理 .如果線性方程組 (1)無解或有多個解，則它的 系數(shù)行列式必為 0. 于是得原方程組的解為 ?????????????11434321xxxx2? 二 .齊次線性方程組的克拉默法則 設(shè)齊次線性方程組 ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????(4) 若 (4)的系數(shù)行列式 0212222111211??nnnnnnaaaaaaaaaD??????(5) 則 (4)沒有非零解 . . 定理 .如果齊次線性方程組 (4) 有非零解 ,則它的系數(shù)行列式必為 0。 解：方程組的系數(shù)行列式為 111111???? （ λ +2） 2( 1)??顯然當(dāng) λ ≠－ 2， λ ≠ 1時，方程組有唯一解。 TDD ?行列式知識點 性質(zhì) ? ??? nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ???????21 21212222111211)1(展開 計算 ● 行展開 ● 列展開 ?? ??? ???nkkjki jijiDAa1 0?? ??? ???nkjkik jijiDAa1 0● 定義法 ● 遞推法 ● 加邊法 ● 數(shù)學(xué)歸納法 ● 公式法 ● 拆項法 ● 乘積法 ● 析因子法 ● 齊次線性方程組有非零解的充要條件 ● 克拉默法則 應(yīng)用 第二章 矩陣及其運(yùn)算 167。其中 即 A B = C. 1( 1 , 2 , 。 C 表示為向三個商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構(gòu)成的矩陣 。 )2 TTT BABA ???? ? 。 顯然，要證明（ AB )T = BTAT, 只須證明 cji = dij 即可。 TAA ?則. T AA ??則 例 4 試證任意 n階方陣都可分解為 一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。 TA + A2TAA2－例 5：設(shè)列矩陣 12nxxx??????????????X = 滿足 XTX = 1， E為 n 階的單位矩陣， H = E － 2XXT, 證明 H 是對稱矩陣，且 HHT = E 。).2 AA n???BAAB ?).3 我們僅證明 3），設(shè) A = (aij), B = (bij)。 證 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T = BTAT + ATBT = － BA－ AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 為 n 階反對稱矩陣。 )1 BABA ???. )3 BAAB ?2) AA?? ?七、 可換矩陣及方陣多項式 可換矩陣 設(shè) A、 B 均為 n階方陣，若 AB = BA ，則稱是 可換的 。 1 2 31 2 31 2 3x x xX y y yz z z????????? A 與 可交換，即有解 設(shè) 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 0 0 1 0 00 2 0 0 2 00 0 3 0 0 3x x x x x xy y y y y yz z z z z z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3232 2 2 2 33 3 3 2 3x x x x x xy y y y y yz z z z z z? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?從而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2 , 即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 , 所以，與可交換的任一矩陣是 000000abc????????其中 a ， b， c 為任意實數(shù)。21312 )2(。 例 11 設(shè)有多項式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2和矩陣 1 1 20 1 11 2 1A???????????求矩陣多項式 f (A) 。 解 由于 AB = BA ，即 1 2 1 21 1 3 2 3 2 1 1a b a b? ? ? ? ? ?