【正文】 可除外）可導(dǎo) )(xf 0x0x（ 1）如果當(dāng) 時(shí) ，而當(dāng) 時(shí)， 則 在 取得極大值。并非在整個(gè)區(qū)間上的最大最小。 3 2xy ?332xy ??其導(dǎo)數(shù)為 當(dāng) 時(shí) 不存在，且不存在使 的點(diǎn) 0?x y? 0??y用 把定義域分成兩個(gè)區(qū)間，見下表： 0?x x (∞ ,0) (0,+∞ ) f180。 型 、 型 、 型 、 前頁 結(jié)束 后頁 型或者 型 型： ??????100010 ??(??型 )變?yōu)? xxx lnlim 30 ??30 1lnlimxxx ???40 31limxxx????xxx 3lim40 ???? 3lim30xx????xxx lnl i m 30 ??例 8 求 解 0?前頁 結(jié)束 后頁 型 : 通分相減變?yōu)? 型 00例 9 求 )ln 11(lim1 xxxx ???（ 型） ???解 )ln 11(lim 1 xx xx ??? xx xxxx ln)1(1lnl i m1 ?????( 0 )0 型xxxxx ln111lnl i m1 ?????? xxxx ln11lnlim1 ????xxxx 111lim21???2?( 0 )0 型前頁 結(jié)束 后頁 ?1 00 0? 型未定式 : 由于它們是來源于冪指函數(shù) 的極限 ? ? )()( xgxf因此通?？捎萌?shù)的方法或利用 ? ? )()( xgxf )(ln)( xfxge?00??即可化為 型未定式，再化為 型或 型求解。 一般分為三種類型討論： )()(xgxf 洛必達(dá)法則 001． 型不定式 ??2． 型不定式． 3．其它型不定式 前頁 結(jié)束 后頁 定理 1 設(shè)函數(shù)與在的某空心鄰域內(nèi)有定義 ， 且滿足如下條件： 000)(lim)(lim)1( ?? ?? xgxf axax且在該鄰域內(nèi)都存在和 ，xgxf )()()2( ??。 ),( ba則在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， ? ? 羅爾定理 a b 使得 0)( ?? ?f前頁 結(jié)束 后頁 ?幾何解釋如圖 A Ba b在直角坐標(biāo)系 Oxy中 曲線 兩端點(diǎn)的連線 平行于 軸 ,其斜率為零 x()y f x?AB故在曲線弧上定有一點(diǎn) 使曲線在該點(diǎn)的切線平行于弦 ，即平行于 軸。 AB( , ( ) )Mf??x0()f ?? ?O xy即 前頁 結(jié)束 后頁 則在區(qū)間 內(nèi)至少存在 ),( ba(1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； ],[ ba(2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)； ),( ba定理 2 設(shè)函數(shù) 滿足下列條件 )(xf)(xfy ?MABba ?T( ) ( )() f b f afba??? ??一點(diǎn) ， ? 使得 拉格朗日中值定理 前頁 結(jié)束 后頁 曲線 處處有不垂直于 軸的切線 如圖 在直角坐標(biāo)系 Oxy ()y f x?x端點(diǎn)連線 AB的斜率為 ( ) ( )f b f aba??所以定理實(shí)際是說存在點(diǎn) ，使曲線在該點(diǎn)的切線 T平行于弦 AB。0)( ?? xg.)( )(lim)( )(lim xg xfxg xfaxax ?????則） （ ???? )()(lim)3(xgxfax存在 或?yàn)? 1． 型未定式． 前頁 結(jié)束 后頁 （ 為任意實(shí)數(shù)） 例 1 求 xxx1)1(l i m0???????????????? 1)1(lim1)1(lim 120xaxxxx解 例 2 求 20)1ln (limxxx??xxxxxx 211lim)1l n (lim020?????解 ????? )1(21lim0 xxx前頁 結(jié)束 后頁 例 3 求 202l i mxee xxx?? ??解 12lim2lim2lim0020????????????xxxxxxxxxeexeexee此定理的結(jié)論對于 時(shí) 型未定式同樣適用。 ??0例 10 求 xx x?? 0lim0( 0 )型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim ????????xxx lnlim0 ??xxx 1lnlim0 ???20 11limxxx???? 0)(lim0 ??? ?? xx1lim 00 ???? ex xx 解 所以 前頁 結(jié)束 后頁 例 11 求 xx xs i n0 )( c o tlim ??,)( c o t s i n xxy ? xxy c o tlns i nln ???? yx lnlim0xxxs i n1cotlnl i m0 ???xxxxxc o ss i n1s i n1c o t1l i m220????? 0c o ss i nl i m20 ?? ?? xxx??? yx 0lim解 設(shè) xxx c o tlns i nlim 0 ??所以 ???xx xs i n0 )( c o tlim ??? yx e ln0lim10 ?e（ 型） 0?前頁 結(jié)束 后頁 例 12 求 xexx ln11)(lnl i m ??（ 型 ） ?1,)( l n ln11xxy ?? )l n ( l nln11ln xxy ??xxxxxyexexex 11ln1limln1lnlnlimlnlim???????1)ln 1(l i m ????? xex所以 1ln1 1)(lnl i m ???? ex xex解 前頁 結(jié)束 后頁 函數(shù)的單調(diào)性與極值 定理 1 設(shè)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開區(qū) 間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則： (a,b)內(nèi) ,則 f (x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)增加 ( ) 0fx? ? (a,b)內(nèi) ,則 f (x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)減少。(x) + f (x) 單增 單減 前頁 結(jié)束 后頁 反之，如果對此鄰域內(nèi)任一點(diǎn) ，恒有 則稱 為函數(shù) 的一個(gè)極小值， 稱為極小值點(diǎn)。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)也不是唯一的。 0x0)( ?? xf 0xx ?0xx? 0)( ?? xf)(xf0)( ?? xf 0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 如圖所示： 在 ， ),( 00 xx ?? 0)( ?? xf在 ， ),( 00 ??xx 0)( ?? xf在 取得極大值。 (3)用 (2)中的點(diǎn)將定義域 (或區(qū)間 )分成若干個(gè)子區(qū)間 , 進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) . (2)求出 ,求出使 的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn) 。 ],[ ba連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 上的最大值與最小值可通過比較 端點(diǎn)處的函數(shù)值 和 。 如圖所示 函數(shù)圖形的描繪 前頁 結(jié)束 后頁 如果曲線弧總是位于其切線的下方 ， 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間上是凸的 。 拐點(diǎn)既然是凹與凸的分界點(diǎn) ， 所以在拐點(diǎn)的某鄰域內(nèi) 必然異號 ， 因而在拐點(diǎn)處 或 不存在 。 2xey ??解 函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng) 時(shí) ， ， 故以 將定 義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下： 0???y21??x22