【正文】 ......... 5 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 ........................................................................................ 5 帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用 ........................................................................ 5 結(jié)束語 ................................................................................................................. 6 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................. 7 致謝 ..................................................................................... 錯(cuò)誤 !未定義書簽。 Peanotype remainder。 2 帶積 帶 皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式 及其的應(yīng)用 帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式 定理 [1] 設(shè)函數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 處具有 n 階導(dǎo)數(shù)， 則 有 2 00 0 0 0 0()()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) ( )2 ! !n nnfxfxf x f x f x x x x x L x x o x xn???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 其中0()no x x?????稱為 Peano 型余項(xiàng) . 注 該 定理說明當(dāng) 0xx? 時(shí)用泰勒多項(xiàng)式 ()nPx近似取代 ()fx時(shí)，其誤差 ()nRx是比 0()nxx? 高階的無窮小 . 帶 皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用 帶 Peano 余項(xiàng)的泰勒公式，因?yàn)槠?Peano 余項(xiàng)只是給出其誤差的定性描述，而不是定量計(jì)算，于是很多人認(rèn)為它作用不大，其實(shí)它在求極限、求斂散性、估計(jì)無窮（?。┐罅康碾A級(jí)命題證明等方面扮演著很重要的角色，甚至起著不可替代的作用 . 求極限 為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開式來代替該項(xiàng)， 使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能 簡(jiǎn)捷 的求出 . 2 例 1 求 2240coslim xxxex ??? 分析 此題分母為 4x ，如果用洛比達(dá)法則，需連用 4 次，比較麻煩 .而用帶皮 亞諾余項(xiàng)的泰勒公式解求較簡(jiǎn)單 . 解 ? ?2 4 411c o s 1 2 ! 4 !x x x o x? ? ? ?， ? ?0x? ? ?2 22 42 11 2 2 ! 2x xxe o x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ? ?0x? 所以 ? ?2 442 1c o s 12xx e x o x?? ? ? ?， ? ?0x? 于是 2240co s 1l i m 12xxxex ??? ??. 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)非常有力的工具 ,運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使求函數(shù)的極限變得十分簡(jiǎn)單 . 判斷 級(jí)數(shù) 斂散性 周知，要 使用比較判別法 判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 nn u???是否收斂，只要能找到一個(gè)相對(duì) “ 比較簡(jiǎn)單 ” 的級(jí)數(shù)1 nn v???（如 ? ?1 0n pvpn??）， 且 lim nx nu kv?? ? ? ?0 k? ??? ()a 若 0 k? ??? ，則級(jí)數(shù)1 nn u???與1 nn v???有相同的斂散性 . ()b 若 0k? ，且級(jí) 數(shù)1 nn v???收斂，則級(jí)數(shù)1 nn u???也收斂 . ()c 若 k?? ，且級(jí)數(shù)1 nn v???發(fā)散，則級(jí)數(shù)1 nn u???也發(fā)散 . 問題是 如何尋找1 nn v???同時(shí)求出極限 k ，且希望 0 k? ??? ，利用泰勒公式可以解決 . 例 2 討論級(jí)數(shù)111