【正文】 22 ????? ppxpx （ 3） 確定 p 的范圍，實際上就是求（ 3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組： 第 7 頁 共 41 頁 ?????????????????0470240)24(4)47(222pppppp 在 0?p 的條件下，得 .130 ??p 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。 思維障礙 很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為 1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數(shù)學式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。 思路分析 結論沒有用數(shù)學式子表示，很難 直接證明。 （ 3） 問題轉(zhuǎn)化的訓練 我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏 的、復雜的。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。 （ 2） 聯(lián)想能力的訓練 例 4 在 ABC? 中，若 C? 為鈍角，則 tgBtgA? 的值 x y O 2 圖 1－ 2－2 第 5 頁 共 41 頁 (A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能確定 思路分析 此題是在 ABC? 中確定三角函數(shù) tgBtgA? 的值。 )()( ?? ff ?????? 思維障礙 有些同學對比較 )(f 與 )(?f 的大小，只想到求 出它們的值。 有些問題的觀察要從相應的圖像著手。 解 由 xyx 623 22 ?? 得 .20,0323,0.3232222???????????xxxyxxy? x y O ),( baA ),( dcB 圖 1－ 2－ 1 第 4 頁 共 41 頁 又 ,29)3(21323 22222 ???????? xxxxyx ?當 2?x 時， 22 yx ? 有最大值，最大值為 .429)32(21 2 ???? 思路分析 要求 22 yx? 的最大值，由已知條件很快將 22 yx ? 變?yōu)橐辉魏瘮?shù),29)3(21)( 2 ???? xxf 然后求極值點的 x 值，聯(lián)系到 02?y ，這一條件，既快又準地求出最大值。 因此， .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思維障礙 很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。所以，必須重視觀察能力的訓練 ，使學生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。 第 3 頁 共 41 頁 例如，已知 cbacba ????? 1111 , )0,0( ???? cbaabc , 求證 a 、 b 、 c 三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。 可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。 一、高中數(shù)學解題思維策略 ................................................................................................................................... 2 第一講 數(shù)學思維的變通性 ........................................................................................................................... 2 第二講 數(shù)學思維的反思性 ........................................................................................................................... 9 第三講 數(shù)學思維的嚴密性 ......................................................................................................................... 13 第四講 數(shù)學思維的開拓性 ......................................................................................................................... 22 二、解密數(shù)學思維的內(nèi)核 ..................................................................................................................................... 29 數(shù)學解題的思維過程 ..................................................................................................................................... 29 數(shù)學解題的技巧 ............................................................................................................................................. 29 一、熟悉化策略 ..................................................................................................................................... 29 二、簡單化策略 ..................................................................................................................................... 30 三、直觀化策略： ................................................................................................................................. 30 四、特殊化策略 ..................................................................................................................................... 31 五、一般化策略 ..................................................................................................................................... 31 六、整體化策略 ..................................................................................................................................... 31 七、間接化策略 ..................................................................................................................................... 31 數(shù)學解題思維過 程 ......................................................................................................................................... 31 數(shù)學解題方法 ................................................................................................................................................. 34 第 2 頁 共 41 頁 一、高中數(shù)學解題思維策略 第一講 數(shù)學思維的變通性 一、概念 數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性 —— 善于根據(jù)題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。 三、數(shù)學思維的嚴密性 考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤。 四、數(shù)學思維的開拓性 對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、 對一個題目運用多種不同的解法。根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進行以下幾個方面的訓練： （ 1）善 于觀察 心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。 例如，求和)1( 143 132 121 1 ???????? nn?. 這些分數(shù)相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且111)1( 1 ???? nnnn，因此，原式等于 1111113121211 ?????????? nnn?問題很快就解決了。 例如，解方程組??? ???? 32xy yx. 這個方程指明兩個數(shù)的和為 2 ，這兩個數(shù)的積為 3? 。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。 恰當?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。 綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學思維變通性的具體體現(xiàn)。 例 1 已知 dcba , 都是實數(shù)，求證 .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的 結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而 左端可看作是點到原點的距離公式。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不 牢固。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。 例 3 已知二次函數(shù) ),0(0)( 2 ????? acbxaxxf 滿足關系 )2()2( xfxf ??? ，試比較 )(f 與 )(?f 的大小。而此題函數(shù))(xf 的表達式不確定無法代值，所以無法比較。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式tgBtgA tgBtgABAtg ?? ??? 1)(可得下面解法。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。首先將結論用數(shù)學式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。 ○2 逆向思維的訓練 逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。 證明 （反證法）假設原命題不成立，即 )1(f 、 )2(f 、 )3(f 都小于 1。 例 14 已知復數(shù) z 的模為 2，求 iz? 的最大值。本講重點加強學生思維的嚴密性的訓練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。當 a 取最大（小）值時， b 不一定取最大（?。┲?，因而整個解題思路是錯誤的。這種利用所要證明的結論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。即：??? ???? ),2( )1(1 NnnS nSann 例 4 實數(shù) a 為何值時，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? 有兩個公共點。 思考題：實數(shù) a 為何值時，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? ， （ 1） 有一個公共點； （ 2） 有三個公共點； （ 3） 有四個公共點； （ 4） 沒有公共點。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰 1個隊，要淘汰 29支隊，那么必有 29場比賽。18)(。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之一。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。例如，“函數(shù) xy