【正文】 S n??.求數(shù)列 {}nb 的通項公式； 解： 22 ( 1 ) 4 2 31a n a d S n nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23 4 3 5T S n n nnn? ? ? ? ? ?? 2分 當 1 , 3 5 811n T b? ? ?? ? ??時 當 2 , 6 2 6 2 .1n b T T n b nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ??時 ?? 4分 練習 ： 1. 已知正項數(shù)列 {an}，其前 n項和 Sn滿足 10Sn=an2+5an+6且 a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列 {an}的通項 an 新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 解 : ∵10 Sn=an2+5an+6， ① ∴10 a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2或 a1=3新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2) ， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)，即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 ， ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 當 a1=3時， a3=13， a15=73新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ a1， a3， a15不成等比數(shù)列 ∴ a1≠3。 :適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項不為 0 的等比數(shù)列。 3. 在等差數(shù)列｛ na ｝中 ,有關(guān) Sn 的最值問題： (1)當 1a 0,d0 時，滿足??? ??? 001mmaa 的項數(shù) m使得 ms 取最大值 . (2)當 1a 0,d0 時，滿 足??? ??? 001mmaa 的項數(shù) m 使得 ms 取最小值。 nnnnn sssss 232 , ?? 成等比數(shù)列。推廣： mnmnn aaa ?? ??2 性質(zhì) 1 若 m+n=p+q 則 qpnm aaaa ??? 若 m+n=p+q，則 qpnm aaaa ? 。 2 若}{nk 成 （其中 Nkn? ）則 }{nka也為 。 4 )(1 1 nmnm aan aad nmn ??????? 11 aaq nn ?? ， mnmn aaq ?? )( nm? 5 ? 看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法： ① ),2(1 為常數(shù)dndaa nn ??? ? ② 2 11 ?? ?? nnn aaa ( 2?n ) ③ bknan ?? ( kn, 為常數(shù) ). ? 看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： ① )0,2(1 ??? ? 且為常數(shù)qnqaa nn ② 112 ?? ?? nnn aaa ( 2?n ， 011 ??? nnn aaa )① 注 ① ： i. acb? ，是 a、 b、 c 成等比的雙非條件，即 acb? a、 b、 c 等比數(shù)列 . ii. acb? （ ac＞ 0）→為 a、 b、 c 等比數(shù)列的充分不必要 . iii. acb ?? →為 a、 b、 c 等比數(shù)列的必要不充分 . iv. acb ?? 且 0?ac →為 a、 b、 c 等比數(shù)列的充要 . 注意：任意兩數(shù) a、 c 不一定有等比中項，除非有 ac＞ 0，則等比中項一定有兩個 . ③ nn cqa ? ( qc, 為非零常數(shù) ). ④ 正數(shù)列 { na }成等比的充要條件是數(shù)列 { nxalog }（ 1?x ）成等比數(shù)列 . ? 數(shù)列 { na }的前 n 項和 nS 與通項 na 的關(guān)系：??? ?? ???? )2()1(111 nss nasannn [注 ]： ① ? ? ? ?danddnaa n ?????? 11 1 （ d 可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若 d 不為 0，則是等差數(shù)列充分條件） . ② 等差 { na }前 n 項和 ndandBnAnSn ?????? ??????????? 22 122 →2d可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若 d 為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若 d 不 為零，則是等差數(shù)列的充分條件 . ③ 非零 ． ． 常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列 .（不是非零，即不可能有等比數(shù)列） 2. ① 等 差 數(shù) 列 依 次 每 k 項 的 和 仍 成 等 差 數(shù) 列 ， 其 公 差 為 原 公 差 的 k2 倍..., 232 kkkkk SSSSS ?? ； ②若等差數(shù)列的項數(shù)為 2 ? ???Nnn ，則 ，奇偶 ndSS ??1?? nnaaSS偶奇 ； ③ 若等差數(shù)列的項數(shù)為 ? ???? Nnn 12 ，則 ? ? nn anS 1212 ??? ，且 naSS ?? 偶奇 ，1??nnSS偶奇 得到所求項數(shù)到代入 12 ?? nn . 3. 常用公式：① 1+2+3 ? +n = ? ?21?nn ② ? ?? ?6 121321 2222 ?????? nnnn? ③ ? ? 22 1321 3333 ?????? ???? nnn? [注 ]：熟悉常用通項： 9， 99， 999， … 110 ??? nna ； 5， 55， 555， … ? ?11095 ??? nna. 4. 等比數(shù)列的前 n 項和公式的常見應用題： ? 生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題 . 例如 ，第一年產(chǎn)量為 a ，年增長率為 r ，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為 r?1 . 其中第 n 年產(chǎn)量為 1)1( ?? nra ，且過 n 年后總產(chǎn)量為： .)1(1 ])1([)1(...)1()1( 12 rraarararaa nn ?? ?????????? ? ? 銀行部門中按復利計算問題 . 例如：一年中每月初到銀行存 a 元，利息為 r ，每月利息按復利計算，則每月的 a 元過 n 個月后便成為 nra )1( ? 元 . 因此，第二年年初可存款： )1(.. .)1()1()1( 101112 rararara ???????? = )1(1 ])1(1)[1( 12r rra ?? ??? . ? 分期付款應用題： a 為分期付款方式貸款為 a 元； m 為 m 個月將款全部付清； r 為年利率 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 11 11111......111 21 ?? ???????????????? ?? m mmmmmm r rarxrrxraxrxrxrxra 5. 數(shù)列常見的幾種形式： ? nnn qapaa ?? ?? 12 （ p、 q 為二階常數(shù)） ? 用特證根方法求解 . 具體步驟： ① 寫出特征方程 qPxx ??2 （ 2x 對應 2?na ， x 對應 1?na ），并設(shè)二根 21,xx ② 若 21xx?可設(shè) nnn xcxca 2211. ?? ，若 21xx? 可設(shè) nn xncca 121 )( ?? ； ③ 由初始值 21,aa 確定 21,cc . ? rPaa nn ?? ?1 （ P、 r 為常數(shù)） ? 用 ① 轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列； ② 逐項選代； ③ 消去常數(shù) n轉(zhuǎn)化為 nnn qaPaa ?? ?? 12 的形式，再用特征根方法求 na ； ④ 121 ??? nn Pcca （公式法）， 21,cc由 21,aa 確定 . ① 轉(zhuǎn)化等差，等比：1)( 11 ?????????? ?? P rxxPxPaaxaPxa nnnn. ② 選代法： ?????? ?? rrPaPrPaa nnn )( 21 xPxaP rPP raa nnn ????????? ?? 1111 )(1)1(? rrPaP nn ?????? ?? Pr211 ?. ③ 用特征方程求解： ?????? ?? ?? 相減，rPaa rPaa nn nn 11 1?na 111 1 ??? ??????? nnnnnn PaaPaPaPaa ）（. ④ 由選代法推導結(jié)果：PrPP racPcaP racPrc nnn ???????????? ?? 1111 11112121 ）（，. 6. 幾種常見的數(shù)列的思想方法： ? 等差數(shù)列的前 n 項和為 nS ，在 0?d 時，有最大值 . 如何確定使 nS 取最大值時的 n 值，有兩種方法： 一是求使 0,0 1 ??? nn aa ，成立的 n 值；二是由 ndandSn )2(2 12 ???利用二次函數(shù)的性質(zhì)求 n的值 . ? 如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項 乘積，求此數(shù)列前 n 項和可依照等比數(shù)列前 n 項和的推倒導方法：錯位相減求和 . 例如： ,.. .21)12,.. .(413,211 nn ?? ? 兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差 21 dd， 的最小公倍數(shù) . 2. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法： (1)定義法 :對于 n≥ 2 的任意自然數(shù) ,驗證 )(11 ??? nnnn aaaa 為 同 一 常 數(shù) 。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時 ,注意轉(zhuǎn)化思想的應用。 : 類似于等差數(shù)列前 n 項和公式的推導方法 . 1） : 1+2+3+...+n = 2 )1( ?nn 2） 1+3+5+...+(2n1) = 2n 3） 2333 )1(2121 ?????? ????? nnn? 4） )12)(1(61321 2222 ??????? nnnn? 5） 111)1( 1 ???? nnnn )211(21)2( 1 ???? nnnn 6） )()11(11 qpqppqpq ???? 求 數(shù)列通項公式的 方法 一、公式法 例 1 已知數(shù)列 {}na 滿足 1 2 3 2nnnaa