【正文】 物體把這個電磁波向各個方向反射，當(dāng)然也有一部分反射回發(fā)射點（雷達(dá)），在雷達(dá)處再設(shè)一個接收裝置就可接收到回波。這樣飛機(jī)就不容易被雷達(dá)探測到。 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 167。 亥姆霍茲定理 本章要點 》 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 》 矢量場的通量和散度 》 矢量場的環(huán)量和旋度 》 亥姆霍茲定理 167。 ? 矢量： 具有大小和方向特征的量。如電壓 U、電荷量 Q等。 ? 矢量場： 在指定的時刻，空間每一點可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定義一個矢量場。 場的概念 矢量代數(shù) ? 空矢或零矢： 一個大小為零的矢量 ? 單位矢量： 一個大小為 1的矢量，在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量表征矢量分別沿 x， y， z軸分量的方向。 場的概念 P(x, y, z) x y zr e x e y e z? ? ?結(jié)論： 若兩不為零矢量的點積為零，則兩矢量互相垂直 數(shù)學(xué)知識補(bǔ)充 —— 矢量的代數(shù)運(yùn)算 ? 求和差 》 作圖法： 平行四邊形法則 》 分量法： ? 求點積 （標(biāo)量積、內(nèi)積） 公式： 特點： 直角坐標(biāo)系中： ( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B e A B e A B e A B? ? ? ? ? ? ?c osA B A B ??? A B B A???0x y y z x ze e e e e e? ? ? ? ? ? 1x x y y z ze e e e e e? ? ? ? ? ?167。 場的概念 ? n階行列式的計算： 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和，即 ijAa?1( 1 , 2 , )nij ijjA a A i n????1( 1 , 2 , )nij ijiA a A j n????例： 求 x y zx y zx y ze e eA B A A AB B B??1 1 1 2 1 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )y z x yxzx y zxzy z x yA A A AAAe e eBBB B B B? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )x y z z y y z x x z z x y y xe A B A B e A B A B e A B A B? ? ? ? ? ?167。 場的概念 例： 已知： 4 3 23 2 12 1 1A???????????求 A1 解： 1121 111A ??| | 4 3 2 1A ? ? ? ? ?1231 121A ? ? ? ? 1332 121A ? ? ?2132 111A ? ? ? ? 2242 021A ?? 2343 221A ? ? ?3132 121A ? ? ? 3242 231A ? ? ? 3343 132A ? ? ?11 21 311*12 22 3213 23 331 1 1 1 1 111 0 2 1 0 2||1 2 1 1 2 1A A AA A A A AAA A A?? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???167。等值面方程： 》 等值線圖表示： 等值面在二維空間稱為等值線。 等高線作用 1 根據(jù)等高線及其所標(biāo)出的高度，了解該地區(qū)高度 2 根據(jù)等高線的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個方向上地勢的陡度 A點高 300 B點高 300 A點比 B點陡 越密就越陡 AB167。 場的概念 矢量線的作用 1 根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的 方向 2 根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的 大小及變化趨勢 。 其等值面方程為 2( ) 0x y z? ? ?2()z x y??或 ： 167。 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 167。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) 167。即梯度為該等值面的法向矢量。 ( ) [ ( ) ] 39。 矢量場的通量和散度 167。 》 散度值表征空間中通量源的密度 — 通量密度 0d ivA ? 有源點 匯點 0d ivA ? 無源點 0d ivA ?若 矢量場為無散場 0d ivA ?散度的計算： 在直角坐標(biāo)系下： ()x y z x x y y z ze e e A e A e A ex y z??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???y zx A AAd iv Ax y z? ??? ? ?? ? ?A??哈密爾頓算子 ▽ A??散度符合規(guī)則： ()A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ?() A A A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?167。 散度定理（高斯散度定理） 散度定理： 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量。因此有： ?? ? ???? Sni Si SdASdAi????1? ? ??????????Sni Vi dVAVASdA1)( ????167。 矢量場的環(huán)量（標(biāo)量） (circulation) 環(huán)量的定義： ? ????? c c dlAldA ?c os??結(jié)論： 》 矢量的環(huán)量也是一個標(biāo)量 》 矢量的環(huán)量不等于零，則閉合曲線內(nèi)必有旋渦源 》 矢量的環(huán)量等于零，則閉合曲線內(nèi)沒有旋渦源 例如： 在磁場中，在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不 等于零，其電流就是產(chǎn)生磁場的旋渦源 環(huán)量的性質(zhì)： 積分量，反映旋渦源總的分布特性 解： 由于在曲線 l上 z=0，所以 dz=0。 面元的方向： 面元的方向與閉合曲線 c 的繞行方向成右手螺旋關(guān)系。 n?n?》 矢量場在 P點處沿任一方向 的環(huán)量面密度為旋度 在 方向上的投影。 ( ) ( ) ( )x y zA x z y e y x z e z y z e? ? ? ? ? ?2 6 3x y zn e e e? ? ?( ) ( ) ( )x y zeeeAx y zx z y y x z z y x? ? ?? ? ????? ? ?( ) ( ) ( )x y zz y e x z e y x e? ? ? ? ? ?在點 M(1， 0， 1)處的 旋度 2x y zMA e e e? ? ? ? ?02 2 2( 2 6 3 ) 2 6 37 7 72 6 3x y zx y ze e en e e e??? ? ? ???環(huán)量面密度 方向的單位矢量 n0 2 6 3 1 727 7 7 7MAn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?167。 的方向與 的方向成右手螺旋關(guān)系。 圓柱坐標(biāo)系 ????????zzyx????s i nc o s 002z???? ? ???? ? ? ? ?zeee??? ????zezer??? ????c os sin( sin ) c osxyxyzze e ee e eee????????? ? ?? 理解 直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系 》 直角坐標(biāo)系 ?圓柱坐標(biāo)系 》 圓柱坐標(biāo)系 ?直角坐標(biāo)系 ????????????????????????????????zyxz eeeeee??????1000c o ss i n0s i nc o s?????????????????????????? ????????????zzyxeeeeee????????????1000c o ss i n0s i nc o s167。 球面坐標(biāo)系 了解 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系 直角坐標(biāo)系 ?球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 ?直角坐標(biāo)系 ?????????????????????????????????zyxreeeeee??????0c o ss i ns i ns i nc o sc o sc o sc o ss i ns i nc o ss i n?????????????????????????????????????????????????????????????eeeeee rzyx??????0s i nc o sc o ss i nc o ss i ns i ns i nc o sc o sc o ss i n167。 167。 球面坐標(biāo)系 167。 圓柱坐標(biāo)系 167。 例 111的另一種解法 167。 矢量場的旋度 167。 矢量場的旋度 2( ) ( ) ( )()()()(