[理學(xué)]56第六章數(shù)值積分與數(shù)值微分-wenkub
2022-12-23 00:43:11 本頁(yè)面
【正文】 121 121 x y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 0 20 40 60 80 100 120 140 16020406080100120140瑞士地圖的外形如圖 (比例尺 18mm:40km) 試由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算瑞士國(guó)土的近似面積 ,并與其精確值 41288平方公里比較 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 167。 2 牛頓 柯特斯公式 167。 3 龍貝格求積法 CH6 數(shù)值積分與數(shù)值微分 167。 1 數(shù)值積分的基本概念 ?? ba dxxffI )()(對(duì)于積分 公式有則由的原函數(shù)如果知道 L e i b n i zN e w t o nxFxf ?),()(?ba dxxf )( )()()( aFbFxF ba ???但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中 ,常會(huì)見到以下 現(xiàn)象 : 的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在 )(,)()1( xfxf不是初等函數(shù)如求不出來(lái)的原函數(shù) )(,)()()2( xFxFxf一、數(shù)值積分的必要性 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1,s in lnx d x d xxx??例如 24 201 1 2 1lo g1 4 2 2 1x xxdtt xx???? ???1 ()2 2 2 2xxa r c tg a r c tgxx?? ??求原函數(shù)較困難的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜 ,)()3( xf例如 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY ( ) [ , ]f x C a b?設(shè) ， 則 由 積 分 中 值 定 理二 基 本 思 想( ) ( )baI f f x d x? ?( ) ( ) [ , ]b a f a b??? ? ?()f??, ( )b a f ??即 ： 曲 邊 梯 形 的 面 積 等 于 底 為 高 為 的 矩 形 面 積( ) [ , ]f a b? 曲 邊 梯 形 在 的 平 均 高 度 。 ⒉ 定理 1：一個(gè)求積公式具有 m次代數(shù)精度的 充分必要 條件 是該公式對(duì) 精確成立，而對(duì) 不精確成立。 此公式為 令公式分別對(duì) f (x)=1, x時(shí)精確成立，則有 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 思考 該 公 式 的 代 數(shù) 精 度 最 高問(wèn) 題 ： 可 達(dá) 多 少 ？12 有 幾 個(gè) 待 定 參 數(shù) ？ 提 示 可 列 幾： 個(gè) 方 程 ？3例 試 確 定 積 分 公 式1 2 1 23133.A A x xn? ? ? ? ??， ； 代 數(shù) 精 度答 案 ：G a uss ( .4 )使 代 數(shù) 精 度 達(dá) 到 最 高 的 數(shù) 值 求 積 公 式 ， 稱 為 式注公備 ：中 介 紹167。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 4. 試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高 . )()]()0([)]()0([2)()( 120 fIhffahhffhdxxffI h ???????? ??? h dxxI 0 0解 : 221hI ?]20[2 231 hahhI ???1 ) ( ) 1?fx hI ?1h??? h dxxI 0 112) ( ) ?f x x 22h??? h dxxI 0 223 ) ( ) ?f x x33h? 3)221( ha??1II ?令121?aCHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY ]30[2 2241 hahhI ????? h dxxI 0 334) ( ) ?f x x 44h?44h?]40[2 3251 hahhI ????? h dxxI 0 445 ) ( ) ?f x x 55h?65h?所以該積分公式具有 3次代數(shù)精確度 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY N e w t o n C o t e s一 公 式求 積 節(jié) 點(diǎn) 的等 距 分 布 插 值 型 求 積 公 式 .()baI f x dx? ?()bkkaA l x dx? ? 0nbja jkjjkxx dxxx???????考 慮 插 值 型 求 積 公 式()b na P x dx? ?0( ) ( ) ( ) ( ) La g r a ngenn k kkP x f x l x f x其 中 ： 為 的 插 值 多 項(xiàng) 式 ，?? ?0( ) ( )nb kkakf x l x dx?? ?? ? ?0( ) ( )n b kkakl x dx f x???? ?kA下 面 考 慮 插 值 節(jié) 點(diǎn) 等 距 時(shí) 的 計(jì) 算 ：167。()8 0 0nkn C o r? ? ?當(dāng) 時(shí) ， ，()0() n nkkb a C??? ? ()0() n nkkb a C???? ?()ba???即 誤 差 可 能 被 放 大 ， 不 穩(wěn) 定 。1 1 / 2[ ( ) ( ) ]12 ()22 nk kn kh f x x ff xh? ??????? ?1 ()20n knk T???? 1()10 /212 ()2n nk kkn fxhT????????????2nT ? ? ? ?() 11 / 210 012 ()2n nkknkkn fxTh???????? ?1/2kx?12kkxx??CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 回顧?. 2 ( ) () )12( nh bfT aR ???? ? ?4( 4 ) ()18 0 2() nbaR hS f ?? ???? ????6( 6 )2 ( ) ()9 4 5 4() nb a h fRC ?? ???? ???? 復(fù)化公式的求積余項(xiàng)?. 復(fù)化梯形公式的事后誤差估計(jì)?. 221 ()3n n nI T T T? ? ?與 之間的關(guān)系2 n nTT?. 12 1 / 2012 (2 )nnn n kkT T f xh ????? ?167。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY 設(shè) 稱 f(x)與 g(x)正交 。 ③ Pn(x)在 [1,1]上有 n個(gè)互異零點(diǎn)。 CHINA UNIVERS ITY OF MINING AND TECHNOLOGY xh x x+h B C A T f(x) 167。 1251( 2 ) 1 dxx? ???3211225111 3( 2 ) 1 9 1xtd x d txt????????? ? ???解： 221 1 2 33 [ ] 311 429( ) 1 9
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