【正文】 ? ?? ? ??? ?????? ????kk x xdexpxx)()( 2)}({22)()(21（ 114） 式中 — 隨機(jī)誤差變量，相當(dāng)于高斯方程中的變量 ；這里 ，其中 為某個(gè)測(cè)量示值， 為真值； e— 自然對(duì)數(shù)的底； x?x 0XXx ii ??? iX0X? ?x?? — 隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差 （ 簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差 ） ； （ 115） ,即 — 隨機(jī)誤差的方差； (116) ? ?? ?nxnXXxniinniin????????????? 12120limlim?2? ? ?? ?2x??? ? ? ? ?????????????niinniin xnXXnx121202 1lim1lim? 方差的量綱是測(cè)量數(shù)據(jù)量綱的平方 ， 所以在測(cè)量結(jié)果的表示中不是很方便 ， 因而工程上經(jīng)常不用方差而使用方差的正的算術(shù)平方根 — 標(biāo)準(zhǔn)偏差 （ 簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差 ） 。 X 0X 高斯于 1795年提出連續(xù)型正態(tài)分布隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)表達(dá)式為： x? ? ? ?? ?? ?? ? 22221 xxexxp ??????? （ 112） 式中 —— 數(shù)學(xué)期望值； — 自然對(duì)數(shù)的底； — 隨機(jī)變量 的均方根差或稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)偏差（簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差）； ?e? ?x? x? ?? ? 21l imniinxxn?? ?????? （ 113） ? ? 2x?????— 隨機(jī)變量的方差，數(shù)學(xué)上通常用 D表示； — 隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)?？刹扇∠鄳?yīng)和有效的措施把其削弱和減小到可忽略的程度。 對(duì)周期性系統(tǒng)誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行一次測(cè)量，如圖 12所示。 減小和消除系統(tǒng)誤差的方法 通常的做法是根據(jù)在測(cè)量前預(yù)先通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)器件法或標(biāo)準(zhǔn)儀器法比對(duì) （ 計(jì)算 ） 得到該檢測(cè)儀器系統(tǒng)誤差的修正值 ， 制成系統(tǒng)誤差修正表；以后用該檢測(cè)儀器進(jìn)行具體測(cè)量時(shí)可人工或由儀器自動(dòng)地將測(cè)量值與修正值相加 ， 從而使最后獲得的測(cè)量結(jié)果 （ 數(shù)據(jù) ） 中大大減小或基本消除了該檢測(cè)儀器原先存在的系統(tǒng)誤差 。 計(jì)算 12 nX X X、 、?、12 n? ? ?、 、?、nnniii vvvvvvvvA 13221111 ???? ?????? ? ?（ 110） 如果（ 110）式 成立（ ——為本測(cè)量數(shù)據(jù)序列方差），則表明測(cè)量值中存在周期性系統(tǒng)誤差。 求出它們相應(yīng)的殘差 , 并將這些殘差序列以中間 為界分為前后兩組分別求和 ， 然后把兩組殘差和相減 ， 即 iXnXi?12 in? ? ? ?， ，?， ，?，k?（ 19） 1kniii i sD ???????? 當(dāng)為 n偶數(shù)時(shí) ， 取 、 ；當(dāng) n為奇數(shù)時(shí) ， 取 。 可采用殘差觀察法或利用某些判斷準(zhǔn)則來(lái)發(fā)現(xiàn)和確定是否存在變差系統(tǒng)誤差 。 系統(tǒng)誤差的判別和確定 (1） 實(shí)驗(yàn)比對(duì) 對(duì)于不隨時(shí)間變化的恒差型系統(tǒng)誤差 ，通?？梢圆捎猛ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)比對(duì)的方法發(fā)現(xiàn)和確定 。 系統(tǒng)誤差處理 在一般工程測(cè)量中，系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差總是同時(shí)存在的，但系統(tǒng)誤差往往遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差。 精度是反映檢測(cè)儀器的綜合指標(biāo) ， 精度高必須做到準(zhǔn)確度高 、 精密度也高 ， 也就是說(shuō)必須使系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小 。 隨機(jī)誤差表現(xiàn)測(cè)量結(jié)果的分散性 ，通常用精密度表征隨機(jī)誤差的大小 。 (1)系統(tǒng)誤差 在相同條件下 ， 多次重復(fù)測(cè)量同一被測(cè)參量時(shí) ， 其測(cè)量誤差的大小和符號(hào)保持不變；或在條件改變時(shí) ， 誤差按某一確定的規(guī)律變化 ， 這種測(cè)量誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差 。 ［ 例 ］ 被測(cè)電壓實(shí)際值大約為 V， 現(xiàn)有 、 量程為 0～ 30 V的 A表 ， 、 量程為 0～ 50 V的 B表 ， 、量程為 0～ 50 V的 C表 ， 、 量程為0～ 360 V的 D表 ， 四種電壓表 ， 請(qǐng)問(wèn)選用哪種規(guī)格的電壓表進(jìn)行測(cè)量所產(chǎn)生的測(cè)量誤差較小 ? ［ 解 ］ ：根據(jù) （ 16） 式分別用四種表進(jìn)行測(cè)量由此可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差分別如下所示 。 （ 2） 固有誤差 當(dāng)環(huán)境和各種試驗(yàn)條件均處于基準(zhǔn)條件下檢測(cè)儀器所反映的誤差稱(chēng)固有誤差。 號(hào)和百分號(hào) (％ )后的數(shù)字來(lái)表示精度等級(jí) ， 精度等級(jí)用符號(hào) G表示 。 引用誤差 通常仍以百分?jǐn)?shù)表示 。 CXxXX ?????0() 式中 ， 數(shù)值 C 稱(chēng)為修正值或校正量 。絕對(duì)誤差 說(shuō)明了系統(tǒng)示值偏離真值的大小，其值可正可負(fù)，具有和被測(cè)量相同的量綱單位 。 ： 一個(gè)量嚴(yán)格定義的理論值通常叫理論真值 . (1)約定真值 (2)相對(duì)真值 計(jì)量或測(cè)量器具上標(biāo)注的量值，稱(chēng)為標(biāo)稱(chēng)值?，F(xiàn)場(chǎng)調(diào)試過(guò)程完成后，該檢測(cè)系統(tǒng)才算真正研制成功，以及投入正常運(yùn)行。 測(cè)量精度（高、低）從概念上與測(cè)量誤差（小、大）相對(duì)應(yīng)，目前誤差理論已發(fā)展成為一門(mén)專(zhuān)門(mén)學(xué)科，涉及內(nèi)容很多，許多高校的相關(guān)專(zhuān)業(yè)專(zhuān)門(mén)開(kāi)設(shè) 《 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 》 課程。 檢測(cè)儀器（或系統(tǒng)）指示或顯示（被測(cè)參量）的數(shù)值叫示值，也叫測(cè)量值或讀數(shù)。 0x X X? ? ?() x?系統(tǒng)誤差 : 將標(biāo)準(zhǔn)儀器（相對(duì)樣機(jī)，具有更高精度）的測(cè)量示值作為近似真值與被校檢測(cè)系統(tǒng)的測(cè)量示值進(jìn)行比較，它們的差值就是被校檢測(cè)系統(tǒng)測(cè)量示值的絕對(duì)誤差。 修正值與示值的絕對(duì)誤差的數(shù)值相等 ， 但符號(hào)相反 ， 即為 : XXxC ????? 0() 計(jì)量室用的標(biāo)準(zhǔn)器常由高一級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)器定期校準(zhǔn)，檢定結(jié)果附帶有示值修正表，或修正曲線(xiàn) ? ?xfc ?%1 0 0%1 0 0000?????? X XXX x? () 用相對(duì)誤差通常比其絕對(duì)誤差能更好地說(shuō)明不同測(cè)量的精確程度，一般來(lái)說(shuō)相對(duì)誤差值小，其測(cè)量精度就高；相對(duì)誤差本身沒(méi)有量綱。 x?() 最大引用誤差 (或滿(mǎn)度最大引用誤差 ) 在規(guī)定的工作條件下，當(dāng)被測(cè)量平穩(wěn)增加和減少時(shí)，在檢測(cè)系統(tǒng)全量程所有測(cè)量值引用誤差 (絕對(duì)值 )的最大者，或者說(shuō)所有測(cè)量值中最大絕對(duì)誤差 (絕對(duì)值 )與量程的比值的百分?jǐn)?shù)，稱(chēng)為該系統(tǒng)的最大引用誤差，符號(hào)為 ，可表示為 max?%100m a xm a x ??? Lx?（ ） 最大引用誤差是檢測(cè)系統(tǒng)基本誤差的主要形式，故也常稱(chēng)為檢測(cè)系統(tǒng)的基本誤差。 為統(tǒng)一和方便使用 ， 國(guó)家標(biāo)準(zhǔn) GB77676《 測(cè)量指示儀表通用技術(shù)條件 》 規(guī)定 ， 測(cè)量指示儀表的精度等級(jí) G分為 、 、 、 、 、 七個(gè)等級(jí) ， 這也是工業(yè)檢測(cè)儀器 （ 系統(tǒng) ） 常用的精度等級(jí) 。 （ 3） 影響誤差 影響誤差是指僅有一個(gè)參量處在檢測(cè)儀器（系統(tǒng)）規(guī)定工作范圍內(nèi)，而其它所有參量均處在基準(zhǔn)條件時(shí)檢測(cè)儀器（系統(tǒng)）所具有的誤差 . （ 4） 穩(wěn)定性誤差 穩(wěn)定性誤差是指儀表工作條件保持不變的情況下 ， 在規(guī)定的時(shí)間內(nèi) ， 檢測(cè)儀器 （ 系統(tǒng) ） 各測(cè)量值與其標(biāo)稱(chēng)值間的最大偏差 。 A表有 , VLx % a xm a x ?????? ?B表有 , VLx % a xm a x ?????? ?C表有 , VLx % a xm a x ?????? ?D表有 , VLx % a xm a x ?????? ? 答：四者比較 ， 選用 A表進(jìn)行測(cè)量所產(chǎn)生的測(cè)量誤差通常較小 。 其誤差值恒定不變的又稱(chēng)為定值系統(tǒng)誤差 ， 其誤差值變化的則稱(chēng)為變值系統(tǒng)誤差 。 隨機(jī)誤差越大 ， 精密度越低；反之 ， 精密度就越高 。 按被測(cè)參量與時(shí)間的關(guān)系可分為靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差兩大類(lèi) 。 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)及常見(jiàn)變化規(guī)律 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是測(cè)量誤差出現(xiàn)具有規(guī)律性，其產(chǎn)生原因一般可通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析研究確定與消除。 實(shí)驗(yàn)比對(duì)的方法又可分為標(biāo)準(zhǔn)器件法 （ 簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)件法 ） 和標(biāo)準(zhǔn)儀器法 （ 簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)表法 ） 兩種 。 (1)殘差觀察法 當(dāng)系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大時(shí) ， 通過(guò)觀察和分析測(cè)量數(shù)據(jù)及各測(cè)量值與全部測(cè)量數(shù)據(jù)算術(shù)平均值之差 —— 剩余偏差 （ 即殘差 ） ，常常能直接發(fā)現(xiàn)是否為按某種規(guī)律變化的變差系統(tǒng)誤差 。 2nk ? 12ns ??12nks??? 若 D近似等于零，說(shuō)明測(cè)量中不含線(xiàn)性系統(tǒng)誤差；若 D明顯不為零（且大于 ），則表明這組測(cè)量中存在線(xiàn)性系統(tǒng)誤差。 2 1An??? 2?（ 4） 正態(tài)分布比較判別法 當(dāng)同一條件下順序重復(fù)測(cè)量得到的一組測(cè)量值不存在變差系統(tǒng)誤差時(shí)，其各測(cè)量值與均值的偏差一般都符合隨機(jī)誤差分布特點(diǎn)即服從正態(tài)分布。 交叉讀數(shù)法也稱(chēng)對(duì)稱(chēng)測(cè)量法，是減小線(xiàn)性系統(tǒng)誤差的有效方法。 圖 12 半周期法讀數(shù)示意圖 取兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值 ， 即可有效地減小周期性系統(tǒng)誤差 。 假定對(duì)某個(gè)被測(cè)參量進(jìn)行等精度 (各種測(cè)量因素相同 )重復(fù)測(cè)量 n次 ， 其測(cè)量示值分別為 則各次測(cè)量的測(cè)量偏差 —— 即隨機(jī)誤差（ 假定已消除系統(tǒng)誤差 ） 分別為 12 inX X X X， ，?， ，?，011 XXx ??? 隨機(jī)誤差的分布規(guī)律 022 XXx ???0XXx ii ???0XXx nn ???式中 —— 真值 。 n 從概率論可知， 是決定正態(tài)分布曲線(xiàn)的兩個(gè)特征參數(shù)。 ? 從誤差分布圖上看 ， 均勻分布的特點(diǎn)是：在某一區(qū)域內(nèi) ， 隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等 ， 而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零 。 因此 ， 公式 （114） 、 （ 115） 和 （ 116） 僅是一組不能實(shí)際使用的理論公式 。 貝塞爾公式 12 inX X X X， ，?， ，?，X 0X? ?? ? 2 211?nniiiiXXxdd?? ???????（ 119） 式中 ——第 次測(cè)量值； ——測(cè)量次數(shù) ， 這里為一有限值； ——全部 次測(cè)量值的算術(shù)平均值 ， 簡(jiǎn)稱(chēng)測(cè)量均值； ——第 次測(cè)量的殘差； —— 標(biāo)準(zhǔn)偏差 的估計(jì)值，亦稱(chēng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差或重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差； iX inXni? i? ?? x? ? ?x?表明 n次測(cè)量殘差 并不是數(shù) n個(gè)獨(dú)立變量 ， 而只有 n1個(gè)獨(dú)立變量 。 從另一個(gè)角度 ， 因?yàn)? 1dn??d n t??? ?110